Esercizione relativo alla stipula dei contratti assicurativi
Una compagnia di assicurazioni vita stipula, all’inizio dell’anno, 1000
contratti. Ciascuno prevede un pagamento di 1 milione di euro in caso di morte,
entro l’anno, dell’assicurato. La probabilità di decesso, per ciascun assicurato,
è di 1/1000. Se il capitale iniziale della compagnia è di 2 milioni di euro, quale
premio minimo la compagnia deve far pagare a ciascun assicurato perché la
probabilità di andare in rovina alla fine dell’anno non superi l’1%?
ho pensato che l'unico modo per risolvere il quesito sia di utilizzare la disuguaglianza di Chebishev, ma alla fine sono arrivata ad un risultato non ragionevole.
mi sa che ho sbagliato ad inserire i valori nella disuguaglianza
P ( |X - E(X)| $>=$ k SD(X) ) $<=$ 1/$k^2$
io ho messo :
X = 2000000
E(X) = 999P - 1000000
k= 10
dove con P ho indicato l'incognita del problema (ovvero il premio)
qualcuno mi dà una dritta per favore?
contratti. Ciascuno prevede un pagamento di 1 milione di euro in caso di morte,
entro l’anno, dell’assicurato. La probabilità di decesso, per ciascun assicurato,
è di 1/1000. Se il capitale iniziale della compagnia è di 2 milioni di euro, quale
premio minimo la compagnia deve far pagare a ciascun assicurato perché la
probabilità di andare in rovina alla fine dell’anno non superi l’1%?
ho pensato che l'unico modo per risolvere il quesito sia di utilizzare la disuguaglianza di Chebishev, ma alla fine sono arrivata ad un risultato non ragionevole.
mi sa che ho sbagliato ad inserire i valori nella disuguaglianza
P ( |X - E(X)| $>=$ k SD(X) ) $<=$ 1/$k^2$
io ho messo :
X = 2000000
E(X) = 999P - 1000000
k= 10
dove con P ho indicato l'incognita del problema (ovvero il premio)
qualcuno mi dà una dritta per favore?
Risposte
Devo uscire magari facciamo dopo per esteso, comunque:
se proprio vuoi usare chebychev, facendolo alla volee, mi verrebbe un premio di 800 euro. Quale dovrebbe essere il risultato?
se proprio vuoi usare chebychev, facendolo alla volee, mi verrebbe un premio di 800 euro. Quale dovrebbe essere il risultato?
a me viene una disequazione (ripeto forse sbaglio i conti o lo svolgimento) che si verifica quando il premio è maggiore di 1998 € e minore di 45 € ,cosa che non ha molto senso...
mi potresti dire come ti viene fuori il valore 800?
mi potresti dire come ti viene fuori il valore 800?
Provo a darvi la mia soluzione.
La riserva iniziale a disposizione della compagnia è $2MLN$ di euro, se aggiungiamo il premio pagato da ogni assicurato (uguale per tutti) otteniamo la riserva totale detenuta dalla compagnia. Adesso, fallire significa dover far fronte a rimborsi che eccedono la riserva totale.
Noi vogliamo sapere quale premio deve fare pagare la compagnia per avere probabilità $<1%$ di fallire.
In base ai dati (che non riporto), non è difficile capire che il premio equo a carico dell'assicurato è di $1000$ euro. Partiamo considerando questo.
La riserva totale a disposizione della compagnia diventa $3MLN$ di euro, il che vuol dire che può far fronte a 3 risarcimenti senza fallire, ma non uno di più.
A questo punto il difficile dell'esercizio sta nel notare che il numero di deceduti entro l'anno, tra gli assicurati, si comporta come una v.a. binomiale di parametri $N=1000$ e $p=0,001$. se $B(j)$ è la funzione di ripartizione di tale v.a calcolata per $j$ unità allora:
la prob. che il numero di decessi sia maggiore di $j=3$ vale:
$1-B(3)=0,0189$ che è troppo alta, quindi il premio equo è troppo basso.
Proseguendo aumentando j
$1-B(4)=0,0036$ che è $<0,01$ quindi si può accettare.
Ma questo vuol dire che la riserva totale deve valere 4MLN di euro e quindi il premio da far pagare ad ogni assicurato è di 2000 euro
La riserva iniziale a disposizione della compagnia è $2MLN$ di euro, se aggiungiamo il premio pagato da ogni assicurato (uguale per tutti) otteniamo la riserva totale detenuta dalla compagnia. Adesso, fallire significa dover far fronte a rimborsi che eccedono la riserva totale.
Noi vogliamo sapere quale premio deve fare pagare la compagnia per avere probabilità $<1%$ di fallire.
In base ai dati (che non riporto), non è difficile capire che il premio equo a carico dell'assicurato è di $1000$ euro. Partiamo considerando questo.
La riserva totale a disposizione della compagnia diventa $3MLN$ di euro, il che vuol dire che può far fronte a 3 risarcimenti senza fallire, ma non uno di più.
A questo punto il difficile dell'esercizio sta nel notare che il numero di deceduti entro l'anno, tra gli assicurati, si comporta come una v.a. binomiale di parametri $N=1000$ e $p=0,001$. se $B(j)$ è la funzione di ripartizione di tale v.a calcolata per $j$ unità allora:
la prob. che il numero di decessi sia maggiore di $j=3$ vale:
$1-B(3)=0,0189$ che è troppo alta, quindi il premio equo è troppo basso.
Proseguendo aumentando j
$1-B(4)=0,0036$ che è $<0,01$ quindi si può accettare.
Ma questo vuol dire che la riserva totale deve valere 4MLN di euro e quindi il premio da far pagare ad ogni assicurato è di 2000 euro
"prapa":
mi potresti dire come ti viene fuori il valore 800?
Mi hai dato tu l'idea: usare la diseguaglianza di Chebychev. Assumo X v.a. "numero di premi pagati all'anno" che corrisponde alla v.a. "numero di decessi l'anno ogni 1000 abitanti".
Si desidera che la compagnia non fallisca, quindi non deve pagare più di 2 premi l'anno: ha due milioni in cassa, più quello che incassa dai premi.
Secondo la diseguaglianza la p. che X non superi due è
$P(|X-E(X)|>2) <= (Var(X))/4$
Dove E(X) è nota (e vale 1), mentre è ignota la varianza di X (non è un dato reale, perché le compagnie assicurative conoscono questi dati, ma tant'è...). Comunque si desidera che questa probabilità sia inferiore a 1%, quindi
$P(|X-E(X)|>2) <= 1/100$
(il valore assoluto è inutile ma lo scrivo per correttezza di formula) ottenendo una stima della varianza ammissibile, ovvero
$(Var(X))/4 = 1/100$ cioè $Var(X)=1/25$
che vuol dire deviazione standard di $1/5$ ovvero 0,2 decessi l'anno.
Ora avevo calcolato i $4/5$ di mille euro (cifra che avrebbe portato il capitale a 3MLN) come ottimale, ma il mio ragionamento non mi convince più. Mi sono un po' arenato, forse come faceva notare markovitz dovrei aggiungere alla diseguaglianza un capitale iniziale ottimale, oppure semplicemente è che ho finito di mangiare da non molto, e forse allora è stata la frittura
Ci sentiamo più tardi.
scusatemi...ma non riesco proprio a capire come fate a calcolare il capitale ottimale e di conseguenza il premio ottimale..
perdonatemi, ma nn riesco a seguirvi!
perdonatemi, ma nn riesco a seguirvi!
Secondo la diseguaglianza la p. che X non superi due è
$P(|X-E(X)|>2) <= (Var(X))/4$
perchè la disuguaglianza di Chebyschev la scrivi così ?è equivalente a quella da me precedentemente scritta??se si perchè??
e poi scusatemi...ma non riesco proprio a capire come fate a calcolare il capitale ottimale e di conseguenza il premio ottimale..
perdonatemi, ma nn riesco a seguirvi!
$P(|X-E(X)|>2) <= (Var(X))/4$
perchè la disuguaglianza di Chebyschev la scrivi così ?è equivalente a quella da me precedentemente scritta??se si perchè??
e poi scusatemi...ma non riesco proprio a capire come fate a calcolare il capitale ottimale e di conseguenza il premio ottimale..
perdonatemi, ma nn riesco a seguirvi!
ok ragazzi scusate me credo di esserci arrivata:
il capitale ottimale inizialmente stimato è 3 milioni perchè essendo la probabilità di morte 1/1000, la compagnia su 1000 contratti dovrà pagare in media un 1000000 di euro e quindi per non fallire dovrà almeno possedere 3 milioni di euro....è corretto???
capito questo, mi torna quello che dice markowitz....pensavo di averci azzecato con l'intuizione di Chebyschev , ma non riesco a concluderla!
grazie lo stesso
il capitale ottimale inizialmente stimato è 3 milioni perchè essendo la probabilità di morte 1/1000, la compagnia su 1000 contratti dovrà pagare in media un 1000000 di euro e quindi per non fallire dovrà almeno possedere 3 milioni di euro....è corretto???
capito questo, mi torna quello che dice markowitz....pensavo di averci azzecato con l'intuizione di Chebyschev , ma non riesco a concluderla!
grazie lo stesso
"prapa":
Secondo la diseguaglianza la p. che X non superi due è
$P(|X-E(X)|>2) <= (Var(X))/4$
Scusa, evidentemente mi sono spiegato male, volevo ovviamente dire:
"Secondo la disuguaglianza di Chebychev la probabilità che X non si discosti dalla sua media per più di due è"... bla bla.
"prapa":
perchè la disuguaglianza di Chebyschev la scrivi così ?è equivalente a quella da me precedentemente scritta??se si perchè??
E' equivalente nel senso che è la stessa formula, anche se scritta diversamente. Ma la variabile casuale che ho assunto io è
X = "numero di decessi l'anno" oppure anche "numero di premi pagati all'anno"
Comunque avevo fatto anche un "errorino" banale ma significativo: devo considerare la p. che X non si discosti dalla media per più di uno. Infatti se la media è 1 decesso su 1000, se si discosta dalla media solamente di uno pago due premi (2MLN) e sono quasi a zero (a parte i premi riscossi), se si discosta dalla media più di uno, e quindi di due o tre o più... pago tre (o più) premi e sono rovinato...
E per concludere, direi che la disuguaglianza di Chebychev non mi ha portato lontano, perché continuando trovo che potrei far pagare anche zero euro, che a occhio non è un risultato corretto (o almeno non dal punto di vista dell'assicurazione
).Magari lunedì ci torno sopra, e comunque mi sono incuriosito e ti chiedo un favore: se e quando avrai la soluzione, anche solo numerica, postala qui.
Scusate ma perché usate la disuguaglianza di Chebychev? A mio modo di vedere tale strumento è l'ultimo a cui si deve ricorrere perché, in generale, offre una soluzione pesantemente approssimata, questo perché è una formula molto generale che chiede poche informazioni (non serve conoscere la distribuzione). In questo caso si può fare meglio. La soluzione che ho proposto sopra credo sia adeguata.
Comunque se proprio si vuole usare Chebychev io farei così:
denoto con $X$ il numero aleatorio (che è un'intero) dei risarcimenti, dopo devo sempre notare (qui il paradosso) che la v.a. in esame è una binomiale di parametri $N=1000$ e $p=0,001$ da cui deduco $E[X]=1$ e $Var[X]=0,999$. Dopodichè ipotizziamo di non far pagare premi e quindi la costante da usare nella disuguaglianza è $k=2$ dove io intendo sia il numero di risarcimenti. Questo perchè il capitale della compagnia è 2MLN è quindi può coprire senza fallire 2 sinistri. Ma in tal caso la prob. di fallire è $<=0,24975$ proviamo con $k=4$ da cui si deduce il premio di 2000 euro (che è la soluzione che ho trovato nell'altro post). Ovvero 2MLN iniziali più 2MLN dai premi. Ma la prob. di fallire è $<=0,06243$. Tale risultato non è in contrasto con la soluzione precedente ma se avessimo usato solo Chebychev non lo sapremmo è dovremmo andare avanti ad aumentare k e quindi i premi. Il minore tra i valori che ammettono prob. di fallimento $<=0,01$ è $k=10$. Da cui si deduce che si dovrebbero incassare 8MLN in premi, quindi il premio da far pagare agli assicurati sarebbe salatissimo 8000 euro!!! Assolutamente troppo sbilanciato a favore della compagnia (più ancora che nella realtà direi...).
Infine dico che bisogna usare il primo metodo che ho proposto e la soluzione giusta è di far pagare premi da 2000 euro.
Il fatto che con Chebychev risulti un premio maggiore rispecchia il fatto che con meno informazioni si devono prendere posizioni più prudenti. Badate che non ci interessa la redditività dell'operazione, ma solo il fatto di avere una prob. di fallimento $<0,01$ se la compagnia avesse inizialmente 4MLN di riserva potrebbe regalare le polizze!!!
Non fatevi ingannare dalla disuguaglianza presente nella domanda iniziale perchè il risultato richiesto è comunque puntuale, ovviamente si cerca il premio più basso (più appetibile per il cliente) tra quelli che rispettano la condizione richiesta. Se usate Chebychev il risultato che ottenete è in realtà sbagliato perché la copertura ottenuta è ben più forte di quella richiesta, ovvero la probabilità reale di fallimento è si $<=0,00999$ ma è anche quasi uguale a zero. Quindi avreste modificato la domanda, quindi non usate Chebychev.
Comunque se proprio si vuole usare Chebychev io farei così:
denoto con $X$ il numero aleatorio (che è un'intero) dei risarcimenti, dopo devo sempre notare (qui il paradosso) che la v.a. in esame è una binomiale di parametri $N=1000$ e $p=0,001$ da cui deduco $E[X]=1$ e $Var[X]=0,999$. Dopodichè ipotizziamo di non far pagare premi e quindi la costante da usare nella disuguaglianza è $k=2$ dove io intendo sia il numero di risarcimenti. Questo perchè il capitale della compagnia è 2MLN è quindi può coprire senza fallire 2 sinistri. Ma in tal caso la prob. di fallire è $<=0,24975$ proviamo con $k=4$ da cui si deduce il premio di 2000 euro (che è la soluzione che ho trovato nell'altro post). Ovvero 2MLN iniziali più 2MLN dai premi. Ma la prob. di fallire è $<=0,06243$. Tale risultato non è in contrasto con la soluzione precedente ma se avessimo usato solo Chebychev non lo sapremmo è dovremmo andare avanti ad aumentare k e quindi i premi. Il minore tra i valori che ammettono prob. di fallimento $<=0,01$ è $k=10$. Da cui si deduce che si dovrebbero incassare 8MLN in premi, quindi il premio da far pagare agli assicurati sarebbe salatissimo 8000 euro!!! Assolutamente troppo sbilanciato a favore della compagnia (più ancora che nella realtà direi...).
Infine dico che bisogna usare il primo metodo che ho proposto e la soluzione giusta è di far pagare premi da 2000 euro.
Il fatto che con Chebychev risulti un premio maggiore rispecchia il fatto che con meno informazioni si devono prendere posizioni più prudenti. Badate che non ci interessa la redditività dell'operazione, ma solo il fatto di avere una prob. di fallimento $<0,01$ se la compagnia avesse inizialmente 4MLN di riserva potrebbe regalare le polizze!!!
Non fatevi ingannare dalla disuguaglianza presente nella domanda iniziale perchè il risultato richiesto è comunque puntuale, ovviamente si cerca il premio più basso (più appetibile per il cliente) tra quelli che rispettano la condizione richiesta. Se usate Chebychev il risultato che ottenete è in realtà sbagliato perché la copertura ottenuta è ben più forte di quella richiesta, ovvero la probabilità reale di fallimento è si $<=0,00999$ ma è anche quasi uguale a zero. Quindi avreste modificato la domanda, quindi non usate Chebychev.
ok...senz'altro, quando avrò la soluzione (se il professore si degnerà dimostrarcela) ve la comunicherò!
grazie ancora e al prossimo esercizio!
grazie ancora e al prossimo esercizio!
"markowitz":
Scusate ma perché usate la disuguaglianza di Chebychev?
Era solo un'idea proposta, ho provato a svilupparla ma come ho detto, mi si è arenata su "premio gratis per tutti"
"markowitz":
Comunque se proprio si vuole usare Chebychev io farei così:
denoto con $X$ il numero aleatorio (che è un'intero) dei risarcimenti, dopo devo sempre notare (qui il paradosso) che la v.a. in esame è una binomiale di parametri $N=1000$ e $p=0,001$ da cui deduco $E[X]=1$ e $Var[X]=0,999$. ...
E' ovviamente poco utile continuare con la disuguaglianza assumendo una binomiale e calcolarne la varianza, dovremme forse fare come ho fatto io e arrivare alla conclusione che il premio è minimo, oppure usare la binomiale ma calcolarla direttamente come hai fatto te.
"markowitz":
Infine dico che bisogna usare il primo metodo che ho proposto e la soluzione giusta è di far pagare premi da 2000 euro.
I calcoli sono corretti e probabilmente la soluzione è quella, ma è la distribuzione che mi convince poco: trattare l'evento "decesso" con probabilità data (dal problema) come fosse una binomiale "mal si adatta" al tipo di dato stesso. Certo, è solo un esercizio...
Per quanto riguarda la distribuzione binomiale l'associazione ai dati del problema mi è venuta del tutto spontanea, conosciamo la prob. $p$ che l'evento si verifichi su un singolo soggetto, e conosciamo anche il numero $N$ di soggetti coinvolti. Né consegue che il numero di soggetti su cui l'evento si verificherà è $0<=i<=N$ e tramite l'assunzione standard di eventi indipendenti (per quel che so è usata anche nella realtà, sarebbe molto complicato e del tutto artificiale disporre diversamente) la distribuzione di riferimento non può che essere la binomiale.Al di la dell'esercizio, in matematica attuariale, quando si parla di ramo vita per trovare i premi si fa sempre riferimento alle basi tecniche che poi non sono altro che tavole di mortalità a cui si associa un rendimento tecnico da garantire all'assicurato; ma nell'esercizio un discorso di questo tipo non si inserisce. Per quanto riguarda il numero di sinistri registrato sul portafoglio polizze, sapendo che, in questo caso, il sinistro può verificarsi una sola volta per ogni assicurato (nel danni non è così) possiamo dire che è una v.a. di Bernoulli e se le consideriamo tutte abbiamo una binomiale come detto prima.
Mi sembra abbastanza convincete
che né dici?
Molto convincente: come ho detto, la tua soluzione del problema è corretta.
Ciò che dicevo prima era un'altra cosa: in un ipotetico caso reale mi aspetto una varianza ben maggiore di uno, con conseguente (probabile) fallimento della sciagurata compagnia
Ciò che dicevo prima era un'altra cosa: in un ipotetico caso reale mi aspetto una varianza ben maggiore di uno, con conseguente (probabile) fallimento della sciagurata compagnia
mamma mia ragazzi quanto ne se sapete...io al confronto sono una misera "schiappa" !! mi rimetto al vostro sapere!!
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