Esercizio vettori aleatori continui

[Black27]

Buondì! Mi sto scervellando su questo esercizio...Gli esercizi con variabili aleatorie continue riesco a farli (media, varianza, mediana, costante, ripartizione etc...) ma trovo difficoltà con i vettori! Ecco il testo:

Sul triangolo T avente vertici (0,0), (1,0), (0,1) si consideri la funzione:

$ f(x,y)={ ( x+alpha y , xy in T ),( 0 , other ) :} $

a. Determinare per quale valore di $alpha$ la funzione f(x,y) è una densità di probabilità
b. Determinare le funzioni marginali di X e Y. Le due variabili sono indipendenti?
c. Sia S la somma fra X e Y: Determinare la distribuzione di S e la sua media.

Per il punto b ho qualche idea, basta trovare le marginali (fare l'integrale di y rispetto a dx, e l'integrale di x rispetto a dy), per vedere se sono indipendenti basta calcolare la congiunta e paragonarla alle marginali: Se è uguale alla loro moltiplicazione sono indipendenti.

Però per adesso mi interesserebbe capire anche solo in via teorica come affrontare il punto a.
Io avevo pensato di fare un integrale doppio fra 0 e x, e poi fra 0 e y-x (visto che è un triangolo)...Ma per trovare la densità? sostituisco a x e y due incognite, t1 e t2? Aiuto

[retrocomputer]

"Black27":
Però per adesso mi interesserebbe capire anche solo in via teorica come affrontare il punto a.
Io avevo pensato di fare un integrale doppio fra 0 e x, e poi fra 0 e y-x (visto che è un triangolo)...Ma per trovare la densità? sostituisco a x e y due incognite, t1 e t2? Aiuto

La densità è $f(x,y)$, non la devi trovare. Devi calcolare l'integrale $\int\int_T f(x,y)\ dx\ dy$ (che risulta essere un numero, o meglio una espressione dipendente dal parametro $\alpha$) e porlo uguale a $1$. L'integrazione direi di farla, per la $x$ tra $0$ e $1$ e per la $y$ tra $0$ e $1-x$. Ti torna?

[Black27]

"retrocomputer":[quote="Black27"]
Però per adesso mi interesserebbe capire anche solo in via teorica come affrontare il punto a.
Io avevo pensato di fare un integrale doppio fra 0 e x, e poi fra 0 e y-x (visto che è un triangolo)...Ma per trovare la densità? sostituisco a x e y due incognite, t1 e t2? Aiuto

La densità è $f(x,y)$, non la devi trovare. Devi calcolare l'integrale $\int\int_T f(x,y)\ dx\ dy$ (che risulta essere un numero, o meglio una espressione dipendente dal parametro $\alpha$) e porlo uguale a $1$. L'integrazione direi di farla, per la $x$ tra $0$ e $1$ e per la $y$ tra $0$ e $1-x$. Ti torna?[/quote]

E' vero! Sisi mi torna Facendo i vari calcoli ho impostato l'integrale doppio

$\int_0^1 \int_0^(1-x) (x + alpha y) dy dx = 1$

Che mi risulta $alpha = 5/6$

Per il punto (b) ho integrato in x con dy, e in y con dx quindi:

$f_X (y) = \int_0^1 (x+alpha y) dy$ Che mi risulta $x + 5/12$
$f_Y(x) = \int_0^(1-x) (x + alpha y) dx$ Che mi risulta $1/2 - x + 1/2 x^2 + 5/6 y - 5/6 xy$

Per vedere se sono indipendenti controllo che

$f(x,y) = f_X (y) f_Y (x)$ ma l'equazione non è corretta, quindi non sono indipendenti. Fin qui è giusto?

Come si fa per il punto c?