Esercizio vettore Aleatorio
Consideriamo la seguente funzione con $ k in RR$:
$f(x,y)={(kroot(2)(x)y^2,if 0
1) Determinare il valore di $k$ per il quale $f(x, y)$ è una densità.
2) Sia $(X, Y )$ è una variabile aleatoria con densità $f(x, y)$ calcolare $P(2X > Y )$.
Il primo punto, ovviamente, è molto semplice. Basta calcolare:
$k\int_0^1root(2)(x)dx int_-1^1 y^2 dy=1$
e ottengo che $ k = 9/4$. Di conseguenza $f(x,y) = 9/4root(2)(x)y^2$
Il secondo punto, lo risolverei facendo: $P(2X > Y ) = 1 - P(2X <= Y) = 1- P(Y>= 2X) = 1 - 9/4\int_0^1root(2)(x)dx int_(2x)^1 y^2 dy $
Però nella soluzione dell'esercizio gli estremi di integrazione sono differenti. In particolare l'integrale diventa:
$1 - 9/4\int_0^(1/2)root(2)(x)dx int_(2x)^1 y^2 dy $
Non capisco il motivo per cui l'estremo superiore di integrazione della x sia 1/2 e non 1(com'è indicato nel dominio).
Vorrei riuscire a capire meglio questa tipologia di esercizi, più in particolare capire come non sbagliare gli estremi di integrazione e di conseguenza che ragionamento bisogna fare in generale per non commettere errori su questi estremi.
Ringrazio in anticipo chi tenterà di aiutarmi
$f(x,y)={(kroot(2)(x)y^2,if 0
1) Determinare il valore di $k$ per il quale $f(x, y)$ è una densità.
2) Sia $(X, Y )$ è una variabile aleatoria con densità $f(x, y)$ calcolare $P(2X > Y )$.
Il primo punto, ovviamente, è molto semplice. Basta calcolare:
$k\int_0^1root(2)(x)dx int_-1^1 y^2 dy=1$
e ottengo che $ k = 9/4$. Di conseguenza $f(x,y) = 9/4root(2)(x)y^2$
Il secondo punto, lo risolverei facendo: $P(2X > Y ) = 1 - P(2X <= Y) = 1- P(Y>= 2X) = 1 - 9/4\int_0^1root(2)(x)dx int_(2x)^1 y^2 dy $
Però nella soluzione dell'esercizio gli estremi di integrazione sono differenti. In particolare l'integrale diventa:
$1 - 9/4\int_0^(1/2)root(2)(x)dx int_(2x)^1 y^2 dy $
Non capisco il motivo per cui l'estremo superiore di integrazione della x sia 1/2 e non 1(com'è indicato nel dominio).
Vorrei riuscire a capire meglio questa tipologia di esercizi, più in particolare capire come non sbagliare gli estremi di integrazione e di conseguenza che ragionamento bisogna fare in generale per non commettere errori su questi estremi.
Ringrazio in anticipo chi tenterà di aiutarmi
Risposte
Ciao Awenega! ben iscritto e benvenuto nella community.
Se aspetti un paio di minuti ti mostro il grafico da cui gli estremi di integrazione corretti saranno chiarissimi.....
Intanto complimenti perché, pur essendo un neoiscritto, hai postato un topic perfettamente in linea con il regolamento e con lo spirito del forum!
Ecco fatto:
Calcolare $P[2X>Y]$ è come calcolare l'integrale doppio della densità nell'area bianca, ovvero 1 meno l'integrale sull'area colorata.....
e quindi penso non ci siano dubbi di sorta su quali siano i corretti estremi di integrazione.....vero?
$intint_(Y<2X)f(x,y)dxdy=1-int_0^(1/2)dxint_(2x)^(1) f(x,y)dy$
come volevi fare tu, integrando $int_0^1dx$ andavi ad integrare anche la parte al di fuori del dominio.....
PS: visto che pare si tratti di un esercizio di cui hai già la soluzione non sto a controllare i conti che saranno sicuramente coretti
Se aspetti un paio di minuti ti mostro il grafico da cui gli estremi di integrazione corretti saranno chiarissimi.....
Intanto complimenti perché, pur essendo un neoiscritto, hai postato un topic perfettamente in linea con il regolamento e con lo spirito del forum!
Ecco fatto:
Calcolare $P[2X>Y]$ è come calcolare l'integrale doppio della densità nell'area bianca, ovvero 1 meno l'integrale sull'area colorata.....
e quindi penso non ci siano dubbi di sorta su quali siano i corretti estremi di integrazione.....vero?
$intint_(Y<2X)f(x,y)dxdy=1-int_0^(1/2)dxint_(2x)^(1) f(x,y)dy$
come volevi fare tu, integrando $int_0^1dx$ andavi ad integrare anche la parte al di fuori del dominio.....
PS: visto che pare si tratti di un esercizio di cui hai già la soluzione non sto a controllare i conti che saranno sicuramente coretti
Con il grafico è molto chiaro, grazie mille!!
Una sola domanda. Quando ho esercizi di questo tipo, mi basta calcolare la retta y e tracciare il grafico e quindi calcolare i punti di intersezione tra la retta e l'area del dominio?
Grazie ancora per la tempestiva risposta
Una sola domanda. Quando ho esercizi di questo tipo, mi basta calcolare la retta y e tracciare il grafico e quindi calcolare i punti di intersezione tra la retta e l'area del dominio?
Grazie ancora per la tempestiva risposta
Ogni esercizio è a sé....personalmente ho risolto qualche centinaio di esempi sulle trasformazioni di vettori aleatori che trovi qui sul forum. Usa la funzione cerca ed avrai da sbizzarrirti
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