Esercizio vettore aleatorio
Salve! Ho provato a risolvere questo esercizio (vedi allegato) ma non mi ritrovo con la funzione di ripartizione. Dove ho sbagliato? Le densità marginali si possono trovare come ho inteso io? Ecco il testo:
Sia Z un numero aleatorio continuo con densità uniforme su [1, 2] e si consideri il vettore aleatorio
( X , Y ) = (2 Z, 3 Z ). Determinare le densità marginali e la funzione di ripartizione congiunta.
Sia Z un numero aleatorio continuo con densità uniforme su [1, 2] e si consideri il vettore aleatorio
( X , Y ) = (2 Z, 3 Z ). Determinare le densità marginali e la funzione di ripartizione congiunta.
Risposte
Ha ragione il testo!
Primo errore: sebbene tu abbia calcolato correttamente le due funzioni di densità:
$f_(X)(x)=1/2$; $2<=X<=4$
e
$f_(Y)(y)=1/3$; $3<=Y<=6$
non è vero che da ciò si ricava che $f_(XY)(x,y)=1/6$. Ciò accade se e solo se $X$ e $Y$ sono indipendenti....ma non è questo il caso.
Se non fossi convinto della correttezza delle due trasformazioni basterebbe calcolarle con la consueta formuletta (che in questo caso non serve, data l'estrema semplicità della trasformazione)
$f_(Y)(y)=f_(X)(g^(-1)(y))|d/(dy)g^(-1)(y)|$
Anche nella funzione di ripartizione hai commesso alcuni errori; infatti devi pensare che questo è un vettore aleatorio, definito quindi su un piano. La CDF congiunta è nulla anche nei seguenti casi:
$F_(XY)(-oo;y)=F_(XY)(x;-oo)=0$ e non solo quando entrambe le variabili tendono a $-oo$
Vediamo quindi come procedere:
Sappiamo che $f_(Z)(z)=1$ per $1<=z<=2$. Quindi è facile calcolare la CDF di $Z$ come segue:
$P(Z<=z)=F_(Z)(z)=int_(1)^(z)dt=z-1$ (1)
La richiesta dell'esercizio è:
$P(X<=x;Y<=y)=P(2Z<=x;3Z<=y)=P(Z<=x/2;Z<=y/3)$ (ci sta chiedendo che $Z$ sia contemporaneamente minore di $x/2$ e di $y/3$). Quindi:
$P(X<=x;Y<=y)=P{Z<=min(x/2,y/3)}$.
Ma essendo $P(Z<=z)=z-1$ per la (1) otteniamo
$P(X<=x;Y<=y)=min(x/2,y/3)-1$
controlliamo che le proprietà della $F_(X,Y)$ siano soddisfatte:
$F(-oo,-oo)=min(2/2;3/3)-1=1-1=0$
$F(-oo,y)=min(1;y/3)-1=1-1=0$
$F(x,-oo)=min(x/2;1)-1=1-1=0$
$F(x,+oo)=min(x/2;1)-1=x/2-1=F_(X)(x)$
$F(+oo,y)=min(1;y/3)-1=y/3-1=F_(Y)(y)$
$F(+oo,+oo)=min(2;2)-1=2-1=1$
Primo errore: sebbene tu abbia calcolato correttamente le due funzioni di densità:
$f_(X)(x)=1/2$; $2<=X<=4$
e
$f_(Y)(y)=1/3$; $3<=Y<=6$
non è vero che da ciò si ricava che $f_(XY)(x,y)=1/6$. Ciò accade se e solo se $X$ e $Y$ sono indipendenti....ma non è questo il caso.
Se non fossi convinto della correttezza delle due trasformazioni basterebbe calcolarle con la consueta formuletta (che in questo caso non serve, data l'estrema semplicità della trasformazione)
$f_(Y)(y)=f_(X)(g^(-1)(y))|d/(dy)g^(-1)(y)|$
Anche nella funzione di ripartizione hai commesso alcuni errori; infatti devi pensare che questo è un vettore aleatorio, definito quindi su un piano. La CDF congiunta è nulla anche nei seguenti casi:
$F_(XY)(-oo;y)=F_(XY)(x;-oo)=0$ e non solo quando entrambe le variabili tendono a $-oo$
Vediamo quindi come procedere:
Sappiamo che $f_(Z)(z)=1$ per $1<=z<=2$. Quindi è facile calcolare la CDF di $Z$ come segue:
$P(Z<=z)=F_(Z)(z)=int_(1)^(z)dt=z-1$ (1)
La richiesta dell'esercizio è:
$P(X<=x;Y<=y)=P(2Z<=x;3Z<=y)=P(Z<=x/2;Z<=y/3)$ (ci sta chiedendo che $Z$ sia contemporaneamente minore di $x/2$ e di $y/3$). Quindi:
$P(X<=x;Y<=y)=P{Z<=min(x/2,y/3)}$.
Ma essendo $P(Z<=z)=z-1$ per la (1) otteniamo
$P(X<=x;Y<=y)=min(x/2,y/3)-1$
controlliamo che le proprietà della $F_(X,Y)$ siano soddisfatte:
$F(-oo,-oo)=min(2/2;3/3)-1=1-1=0$
$F(-oo,y)=min(1;y/3)-1=1-1=0$
$F(x,-oo)=min(x/2;1)-1=1-1=0$
$F(x,+oo)=min(x/2;1)-1=x/2-1=F_(X)(x)$
$F(+oo,y)=min(1;y/3)-1=y/3-1=F_(Y)(y)$
$F(+oo,+oo)=min(2;2)-1=2-1=1$
Sei un grande!!! 
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