Esercizio verosimiglianza
Ciao a tutti.
Vi propongo questo esercizio che chiede di calcolare la funzione di log-verosimiglianza e log-verosimiglianza profilo per il parametro $alpha$. Chiedo conferma riguardo la correttezza dello svolgimento e spero di arricchire un po' il forum con questo tipo di esercizi che, specie online, sono rari da trovare.
$ f(y;alpha,beta)=beta^(alpha)/(Gamma(alpha))*y^(alpha-1)*e^(-betay) $
$ L(alpha,beta)=[beta^(alpha)/(Gamma(alpha))]^n*prod_i^ny_i^(alpha-1)*e^(-betasum_i^ny_i) $
$ l(alpha,beta)prop nalphalog(beta)-nlog(Gamma(alpha))+alphasum_i^nlog(y_i)-betasum_i^ny_i $
Fisso $alpha$ e calcolo $ hat(beta)_alpha = argmaxL(alpha,beta) $
Quindi derivo rispetto a $beta$ la $l(alpha,beta)$ e risulta:
$ (partial l)/(partial beta)= (nalpha)/beta-sum_i^ny_i = 0\hArr hat(beta)=(nalpha)/(sum_i^ny_i) $
Quindi sostituendo lo stimatore di $beta$ nella verosimiglianza di partenza ottengo:
$ L(alpha, hat(beta)_alpha)=[(((nalpha)/(sum_i^ny_i))^alpha)/(Gamma(alpha))]^nprod_i^ny_i^(alpha-1)e^(-nalpha $
Infine applico la trasformazione logartimica e ottengo:
$ l(alpha, hat(beta)_alpha)prop nalphalog(n)+nalphalog(alpha)-nalphalog(sum_i^ny_i)-nlog(Gamma(alpha))+alphasum_i^nlog(y_i)-nalpha $
Grazie a tutti.
Vi propongo questo esercizio che chiede di calcolare la funzione di log-verosimiglianza e log-verosimiglianza profilo per il parametro $alpha$. Chiedo conferma riguardo la correttezza dello svolgimento e spero di arricchire un po' il forum con questo tipo di esercizi che, specie online, sono rari da trovare.
$ f(y;alpha,beta)=beta^(alpha)/(Gamma(alpha))*y^(alpha-1)*e^(-betay) $
$ L(alpha,beta)=[beta^(alpha)/(Gamma(alpha))]^n*prod_i^ny_i^(alpha-1)*e^(-betasum_i^ny_i) $
$ l(alpha,beta)prop nalphalog(beta)-nlog(Gamma(alpha))+alphasum_i^nlog(y_i)-betasum_i^ny_i $
Fisso $alpha$ e calcolo $ hat(beta)_alpha = argmaxL(alpha,beta) $
Quindi derivo rispetto a $beta$ la $l(alpha,beta)$ e risulta:
$ (partial l)/(partial beta)= (nalpha)/beta-sum_i^ny_i = 0\hArr hat(beta)=(nalpha)/(sum_i^ny_i) $
Quindi sostituendo lo stimatore di $beta$ nella verosimiglianza di partenza ottengo:
$ L(alpha, hat(beta)_alpha)=[(((nalpha)/(sum_i^ny_i))^alpha)/(Gamma(alpha))]^nprod_i^ny_i^(alpha-1)e^(-nalpha $
Infine applico la trasformazione logartimica e ottengo:
$ l(alpha, hat(beta)_alpha)prop nalphalog(n)+nalphalog(alpha)-nalphalog(sum_i^ny_i)-nlog(Gamma(alpha))+alphasum_i^nlog(y_i)-nalpha $
Grazie a tutti.
Risposte
direi che va tutto molto bene...se proprio devo fare un'osservazione, all'ultimo passaggio hai messo il simbolo $prop$
in realtà, hai solo tolto un termine additivo $-sum_i log y_i$ quindi forse (dico forse) sarebbe stato meglio lasciare il termine in questione e mettere il simbolo $=$
$prop$ si mette quando tralasci dei fattori moltiplicativi...ma è davvero un dettaglio, basterebbe calcolare lo score così il problema non si porrebbe nemmeno....
bravo!
in realtà, hai solo tolto un termine additivo $-sum_i log y_i$ quindi forse (dico forse) sarebbe stato meglio lasciare il termine in questione e mettere il simbolo $=$
$prop$ si mette quando tralasci dei fattori moltiplicativi...ma è davvero un dettaglio, basterebbe calcolare lo score così il problema non si porrebbe nemmeno....
bravo!
Ciao Tommik, grazie per aver risposto. Riguardo al simbolo di proporzionalità; l'ho utilizzato perché negli appunti avevo definito le verosimiglianze equivalenti come verosimiglianze che differiscono per una costante moltiplicativa in $L (theta) $ o additiva nella $l (theta) $ che non dipende dal parametro, da qui il simbolo. Poi ricontrollo meglio, forse ricordo male. Al solito, ti ringrazio! 
Sì sì è vero!! Ricordi benissimo, è tutto Ok!
È come togliere una costante moltiplicativa $1/y$ dalla L. Stavo già per modificare la risposta ma mi hai preceduto.
È come togliere una costante moltiplicativa $1/y$ dalla L. Stavo già per modificare la risposta ma mi hai preceduto.
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