Esercizio VC Bivariata (youtube)
controllando su yt esercizi su V.C. bivariate continue, ho trovato questo video (https://www.youtube.com/watch?v=t2hHvb-Mddg&t=2s). l'impostazione iniziale dell'esercizio è corretta( individuazione del paramentro 'c' e del supporto ).
usa però delle formule che io non conosco, non so se siano sbagliate o meno, ad esempio:
(1) al min 4'20": $ E(X)=int int_Rx f_(XY)(xy) dx dy $.
mentre io ho sempre proceduto prima trovando la distribuzione marginale $ f_X(x)=int f_(XY)(xy) dy $ e poi trovando il valore atteso $ E(X)=intxf_(X)(x)dx $
NB(i 2 modi di procedere portano a risultati diversi).
(2) e così anche per la varianza che calcola usando il momento secondo centrato (10'00" del video) e questo OK, mostra però solo il risultato finale (che a me non ritorna) e non i calcoli dell 'integrale.
volevo sapere in generale se le formule che usa sono corrette. perchè la maggior parte delle volte questi esercizi sono impostati e condotti in un altro modo. grazie
usa però delle formule che io non conosco, non so se siano sbagliate o meno, ad esempio:
(1) al min 4'20": $ E(X)=int int_Rx f_(XY)(xy) dx dy $.
mentre io ho sempre proceduto prima trovando la distribuzione marginale $ f_X(x)=int f_(XY)(xy) dy $ e poi trovando il valore atteso $ E(X)=intxf_(X)(x)dx $
NB(i 2 modi di procedere portano a risultati diversi).
(2) e così anche per la varianza che calcola usando il momento secondo centrato (10'00" del video) e questo OK, mostra però solo il risultato finale (che a me non ritorna) e non i calcoli dell 'integrale.
volevo sapere in generale se le formule che usa sono corrette. perchè la maggior parte delle volte questi esercizi sono impostati e condotti in un altro modo. grazie
Risposte
Entrambi i modi sono corretti per calcolare $E (X) $ ed è anche evidente.... Se ti viene un risultato diverso è perché sbagli i calcoli
Ps: il video non l'ho guardato...preferisco leggere dei testi
vedo di spiegarmi con un semplice esempio (nel caso discreto).
Considera la seguente variabile aleatoria bivariata
e supponi di dover calcolare la media di X.
Tu fai così: calcoli la marginale
$X-={{: ( 1 , 2 ),( 0.8 , 0.2 ) :}$
e ne fai la media: $E[X]=sum_i x_i p(x_i)=1 xx 0.8+2 xx 0.2=1.2$ invece "lui" fa così:
$E[X]=sum_i sum_j x_i p(x_i,y_j)=1 xx0.5+1 xx 0.3+2 xx0.2=1.2$
Ovviamente tutta questa manfrina può essere evitata e quanto sopra si dimostra in un paio di semplici passaggi osservando che $f(x,y)=f(x)f(y|x)$ e calcolando separatamente i due integrali
e comunque il testo dell'esercizio che hai trovato su u-tub è questo (ho guardato solo i primi secondi del video, dato che non ha nulla di interessante e di esercizi così ne trovi a centinaia qui sul forum, tutti risolti e commentati)
$f_(XY)(x,y)-={{: ( c , ;(x,y) in D ),( 0 , ; al t ro ve ) :}$
dove $D={(x,y) in R^2: 0
per calcolare la costante c basta fare il reciproco dell'area di integrazione che, essendo un parallelogramma è pari a $b a s e xx a l t e z z a= 2 xx 5=10$ e quindi $c=1/10$
$E[X]=1/10int_(0)^(5)xdxint_(x-1)^(x+1)dy=...=5/2$
se invece fai come fai di solito tu ottieni
$f_X(x)=int_(x-1)^(x+1)1/10dy=...=1/5I_((0;5))(x)$
ovvero una uniforme in $(0;5)$ che ha media pari a $(a+b)/2=5/2$
dove sta la differenza???
EDIT:azz....dopo ha rimescolato le carte ponendo anche una ulteriore condizione: $y>0$....comunque il metodo è sempre lo stesso lo puoi applicare da solo....
ciao
Ps: il video non l'ho guardato...preferisco leggere dei testi
vedo di spiegarmi con un semplice esempio (nel caso discreto).
Considera la seguente variabile aleatoria bivariata
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
e supponi di dover calcolare la media di X.
Tu fai così: calcoli la marginale
$X-={{: ( 1 , 2 ),( 0.8 , 0.2 ) :}$
e ne fai la media: $E[X]=sum_i x_i p(x_i)=1 xx 0.8+2 xx 0.2=1.2$ invece "lui" fa così:
$E[X]=sum_i sum_j x_i p(x_i,y_j)=1 xx0.5+1 xx 0.3+2 xx0.2=1.2$
Ovviamente tutta questa manfrina può essere evitata e quanto sopra si dimostra in un paio di semplici passaggi osservando che $f(x,y)=f(x)f(y|x)$ e calcolando separatamente i due integrali
e comunque il testo dell'esercizio che hai trovato su u-tub è questo (ho guardato solo i primi secondi del video, dato che non ha nulla di interessante e di esercizi così ne trovi a centinaia qui sul forum, tutti risolti e commentati)
$f_(XY)(x,y)-={{: ( c , ;(x,y) in D ),( 0 , ; al t ro ve ) :}$
dove $D={(x,y) in R^2: 0
per calcolare la costante c basta fare il reciproco dell'area di integrazione che, essendo un parallelogramma è pari a $b a s e xx a l t e z z a= 2 xx 5=10$ e quindi $c=1/10$
$E[X]=1/10int_(0)^(5)xdxint_(x-1)^(x+1)dy=...=5/2$
se invece fai come fai di solito tu ottieni
$f_X(x)=int_(x-1)^(x+1)1/10dy=...=1/5I_((0;5))(x)$
ovvero una uniforme in $(0;5)$ che ha media pari a $(a+b)/2=5/2$
dove sta la differenza???
EDIT:azz....dopo ha rimescolato le carte ponendo anche una ulteriore condizione: $y>0$....comunque il metodo è sempre lo stesso lo puoi applicare da solo....
ciao
ok. il problema è che provando a fare nel modo "classico": prima trovando $ f_X(x) $ e poi il valore atteso $ E(X) $ non saprei come procedere..
nel senso per trovarmi la marginale di X ho "a disposizione solo l'integrazione veritcale" e siccome la $ f_(XY)(xy)= 2/19 $ se $ 0<=x<=5 $ , $ x-1<=y<=x+1 $ , $ y>0 $ non saprei come individuare la marginale. non saprei quali estremi di integrazione utilizzare per questo supporto, che ha 2 doppi integrali. purtroppo non è un parallelogramma altrimenti sarebbe stato fattibile calcolare la marginale di X perchè c'è come condizione $ y>0 $.
il parametro a quello del video da come risultato c=2/19.
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
nel senso per trovarmi la marginale di X ho "a disposizione solo l'integrazione veritcale" e siccome la $ f_(XY)(xy)= 2/19 $ se $ 0<=x<=5 $ , $ x-1<=y<=x+1 $ , $ y>0 $ non saprei come individuare la marginale. non saprei quali estremi di integrazione utilizzare per questo supporto, che ha 2 doppi integrali. purtroppo non è un parallelogramma altrimenti sarebbe stato fattibile calcolare la marginale di X perchè c'è come condizione $ y>0 $.
il parametro a quello del video da come risultato c=2/19.
con quel dominio "tagliato" per trovare la marginale la devi dividere in due:
$f(x)=int_(0)^(x+1)2/19dy=...=2/19(x+1)$ se $0
$f(x)=int_(x-1)^(x+1)2/19dy=...=4/19$ se $1<=x<5$
come puoi agevolmente controllare, tale funzione è una densità avendo l'area totale pari a uno
ora vedrai che anche la media di X ti torna.....
$E[X]=int_(0)^(1)2/19(x^2+x)dx+int_(1)^(5)4/19xdx=...~~2.614$
...però è più comodo come fa lui....e come farebbe chiunque.
Un consiglio: non rimanere attaccato atavicamente alla formuletta imparata....impara nuovi metodi altrimenti in seguito saranno guai.....
Ps: e certo che inserendo la condizione ulteriore $y>0$ il parametro è $c=2/19$...fai l'area del parallelogramma (10) meno l'area del triangolino (1/2) fai la sottrazione $rarr19/2$ e $c$ è il reciproco....mica ci vuole una scienza....e nemmeno servono gli integrali...
^^^^^^^^^^^^^^^^
Ora, siccome sono una carogna ma mi piace pensare che gli utenti che passano per di qua imparino qualcosa, ti propongo il seguente:
$f_(XY)(x,y)={{: ( e^(-y)/y , ;0
in pratica il dominio è la parte del I quadrante sopra la bisettrice $Y=X$
Calcolare media e varianza di $X$
qui puoi sbattere la testa contro al muro per un anno](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
....ma la $f(x)$ non la calcoli più esplicitamente.....
$f_X(x)=int_(x)^(+oo) e^(-y)/y dy$
$f(x)=int_(0)^(x+1)2/19dy=...=2/19(x+1)$ se $0
$f(x)=int_(x-1)^(x+1)2/19dy=...=4/19$ se $1<=x<5$
come puoi agevolmente controllare, tale funzione è una densità avendo l'area totale pari a uno
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
ora vedrai che anche la media di X ti torna.....
$E[X]=int_(0)^(1)2/19(x^2+x)dx+int_(1)^(5)4/19xdx=...~~2.614$
...però è più comodo come fa lui....e come farebbe chiunque.
Un consiglio: non rimanere attaccato atavicamente alla formuletta imparata....impara nuovi metodi altrimenti in seguito saranno guai.....
Ps: e certo che inserendo la condizione ulteriore $y>0$ il parametro è $c=2/19$...fai l'area del parallelogramma (10) meno l'area del triangolino (1/2) fai la sottrazione $rarr19/2$ e $c$ è il reciproco....mica ci vuole una scienza....e nemmeno servono gli integrali...
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Ora, siccome sono una carogna ma mi piace pensare che gli utenti che passano per di qua imparino qualcosa, ti propongo il seguente:
$f_(XY)(x,y)={{: ( e^(-y)/y , ;0
in pratica il dominio è la parte del I quadrante sopra la bisettrice $Y=X$
Calcolare media e varianza di $X$
qui puoi sbattere la testa contro al muro per un anno
....ma la $f(x)$ non la calcoli più esplicitamente.....$f_X(x)=int_(x)^(+oo) e^(-y)/y dy$
allora GRAZIE MILLE!! adesso tutti i risultati tornano. Si comunque tutta la vita sono d'accordo con ciò che dici, risparmio tempo e fatica applicando $ E(X)= f_(XY)(xy)intint_Rxf_(XY)(xy)dxdy $ al posto che trovare marginale e poi $ E(X) $ .
Senza andare a fare i calcoli della marginale $ f_X(x) $ intuitivamente mi viene da dire che la funzione non essendo continua non si può integrare.. non so magari sto dicendo una cosa senza senso. chiaro il calcolo del val.atteso e della varianza
Senza andare a fare i calcoli della marginale $ f_X(x) $ intuitivamente mi viene da dire che la funzione non essendo continua non si può integrare.. non so magari sto dicendo una cosa senza senso. chiaro il calcolo del val.atteso e della varianza
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