Esercizio Variabili Poisson [con soluzione ed approfondimenti]

[Dave981]

Salve a tutti ragazzi , avrei bisogno di aiuto con il seguente esercizio:

"Una moneta con probabilita' di testa pari a p ∈[0,1] viene lanciata un numero divolte aleatorio (indipendente dai risultati dei lanci della moneta) con distribuzione di Poisson diparametro λ >0. Trovare le distribuzioni del numero totale di teste e croci otteneute."

Io ho provato a risolverlo utilizzando lo schema delle prove ripetute . Il problema e' che mi serve il numero di lanci effettuati e il numero di lanci e' appunto un numero aleatorio.Di conseguenza non so esattamente quanti lanci ci siano stati.Come posso utilizzare poisson in un tale contesto ?
Vi ringrazio in anticipo per l'attenzione e buona giornata!

[Dave981]

Capito! Grazie per l'aiuto.Mi scuso per il messaggio , saro' ancor piu dettagliato in futuro.

[Lo_zio_Tom]

Normalmente non mettiamo la soluzione bella e pronta perché ciò è contrario allo spirito della Community.

In questo caso però l'esercizio lo ritengo interessante anche per altri utenti; vediamo quindi come va risolto nel dettaglio ed anche un piccolo approfondimento in collegamento ad altri topic in modo da postare una sorta di tutorial.

Come giustamente ha scritto @arnett, il problema si inquadra nel calcolo della distribuzione marginale nota l'altra marginale e la distribuzione condizionata. In pratica si tratta di calcolare la distribuzione congiunta

$P_(XN)(x,n)=P_N(n)P_(X|N)(x|n)$

ed integrare (sommare, nel discreto) tale congiunta rispetto ad N. In generale, la formula è questa

$f_Y(y)=int_(mathcal(D))f_(Y|X)(y|x)dF_X(x)$

Utilizzando i dati del problema, marginale di Poisson e condizionata Binomiale, otteniamo subito

$mathbb{P}[X=k]=sum_(n=k)^(oo)((n),(k))p^kq^(n-k)(e^(-lambda)lambda^n)/(n!)$, $k=0,1,2,...$

$mathbb{P}[X=k]=e^(-lambda)((plambda)^k)/(k!)sum_(n=k)^(oo)(n!)/((n-k)!)(qlambda)^(n-k)/(n!)=$

$=e^(-lambda)((plambda)^k)/(k!)sum_(n-k=0)^(oo)(qlambda)^(n-k)/((n-k)!)=e^(-lambda)((plambda)^k)/(k!)e^((1-p)lambda)=$

$=(e^(-plambda)(lambdap)^k)/(k!)$; $k=0,1,2,...$

...l'altra marginale ancora di Poisson.


Un esercizio complementare è questo, postato di recente da un altro utente. Qui si danno le due marginali poissoniane e si chiede di calcolare la condizionata (che è una binomiale)

Altro esercizio simile (ed utile, sempre postato dal medesimo utente) è questo, con distribuzioni continue.

Segnalo anche questo, a mio avviso molto carino, con distribuzioni continua e discreta...(riguardandolo, mi sono accorto di non aver scritto che la distribuzione trovata è una distribuzione nota: quale?)

...ma ti assicuro che ce ne sono a centinaia tutti risolti e commentati.

Guarda bene anche i link che ti ho indicato e dovresti chiarirti le idee. Ciò anche per evidenziarti che il forum è ormai diventato uno fra gli eserciziari più belli che si possano trovare in rete, dato che raccoglie migliaia e migliaia di esercizi proposti in tutte le maggiori Universtià del nostro Paese, tutti completamente risolti e commentati

[Dave981]

Perfetto!Ancora grazie mille per la disponibilita'!