Esercizio variabili casuali U=min(X1,X2) V=max(X1,X2)
Siano $ (X1,X2) $ v.a. indipendenti ed identicamente distribuite, con
distribuzione F e densità f. Determinare la funzione di distribuzione e la densità
di
$ U = min(X_1,X_2) $ , $ V = max(X_1,X_2) $
Estendere il calcolo al caso di n v.a. (X1,X2,...,Xn), con
$ U = min(X_1,X_2,...,X_n) $ , $ V = max(X_1,X_2,...,X_n) $
ho provato a risolverlo così ma abbastanza meccanicamente, ma non mi entusiasma.
$ F_v(v)=P(V<=v)= P(max{X_1,X_2"}<=v)=P(X_1<=v,X_2<=v)= F_(X_1)(v)*F_(X_2)(v)=F_(X_1)(v)^2 $
poi trovo la PDF derivando $ f_v(v)=d/(dv)F_v(v)=d/(dv)F_x(v)^2= 2F_x(x)^2*f_v(v)$
per trovare la v.c. procederei esattamente nella stessa maniera..
il problema è che non ho capito l'esercizio cosa vuol dire $ V = max(X_1,X_2,...,X_n) $? io mi immagino che abbiano una densità congiunta e quindi mettiamo caso nel caso gaussiano il massimo della funzione non dovrebbe essere il punto in cui la derivata è zero in corrispondenza del max della campana? non so forse sto mancando il punto del problema.. che ne pensate? grazie
distribuzione F e densità f. Determinare la funzione di distribuzione e la densità
di
$ U = min(X_1,X_2) $ , $ V = max(X_1,X_2) $
Estendere il calcolo al caso di n v.a. (X1,X2,...,Xn), con
$ U = min(X_1,X_2,...,X_n) $ , $ V = max(X_1,X_2,...,X_n) $
ho provato a risolverlo così ma abbastanza meccanicamente, ma non mi entusiasma.
$ F_v(v)=P(V<=v)= P(max{X_1,X_2"}<=v)=P(X_1<=v,X_2<=v)= F_(X_1)(v)*F_(X_2)(v)=F_(X_1)(v)^2 $
poi trovo la PDF derivando $ f_v(v)=d/(dv)F_v(v)=d/(dv)F_x(v)^2= 2F_x(x)^2*f_v(v)$
per trovare la v.c. procederei esattamente nella stessa maniera..
il problema è che non ho capito l'esercizio cosa vuol dire $ V = max(X_1,X_2,...,X_n) $? io mi immagino che abbiano una densità congiunta e quindi mettiamo caso nel caso gaussiano il massimo della funzione non dovrebbe essere il punto in cui la derivata è zero in corrispondenza del max della campana? non so forse sto mancando il punto del problema.. che ne pensate? grazie
Risposte
Hai iniziato bene... prosegui. La CDF del Max è giusta ma la densità no. Riguarda la derivata perché è sbagliata (ci sono 3 errori nel risultato, magari sono solo refusi ma devi sistemarli). Per il minimo ti suggerisco di partire da
$P(min(X_i)>u)$
A cosa serve? Il Max e il min sono statistiche campionarie (come ad esempio la media delle osservazioni, $bar(X)$ ) e quindi sono anch'esse variabili casuali, con la loro bella (fortunatamente ) distribuzione e densità. Un esempio?
Un altro esempio risolto?
Ciao
$P(min(X_i)>u)$
A cosa serve? Il Max e il min sono statistiche campionarie (come ad esempio la media delle osservazioni, $bar(X)$ ) e quindi sono anch'esse variabili casuali, con la loro bella (fortunatamente ) distribuzione e densità. Un esempio?
La durata di un certo tipo di lampadina è casuale ed è descritta da una distribuzione esponenziale di media 100 ore. Se installiamo 10 lampadine del medesimo tipo e le accendiamo contemporaneamente qual è la durata media della lampadina che si spegne per prima?
Un altro esempio risolto?
Ciao
Ok grazie per il consiglio. allora ci ho pensato meglio, e ho provato a risolvere così..
$ F_u(u)=P(U<=u)=P(min{X_1,X_2}<=u)= $ $ =1-P(min{X_1,X_2}>=u)=
1-P(X_1>=u,X_2>=u)= $
per dare un approcio più concreto a questo esercizio io ho pensato che le due v.c. (ricordando iid) $ X_1 $ e$ X_2 $ si distribuiscano come una normale mettiamo caso $ X ~ N(3,sigma^2) $ con una varianza tale settata in modo che il dominio della funzione non prenda valori negativi, altrimenti non sarebbe coerente col disegno che ho fatto
Quindi in sostanza il valore u $ P(V<=v)=P(max{X_1,X_2}<=v) $ che identifica quale siano i massimi punti del dominio in X1 e X2
e così stesso discorso per il valore v $ P(U>=u)=P(min{X_1,X_2}>=u) $ che identifica il dominio dal minimo punto del dominio in X1 e X2.
tralasciando il fatto che non so come calcolarmi la derivata per la PDF
vorrei fare un altra domanda:
$ F_u(u) $ e $ F_v(v) $ alla fine danno lo stesso risultato?
perchè anche se differiscono nella individuazione del dominio $ U=X_1in[minX_1, ∞) $e $ X_in[minX_2, ∞) $ mentre per $ V=X_1in(- ∞, maxX_1] $e $ X_in(-∞, maxX_2] $ , considerano ugualmente tutta la$ f(X1,X2)$..
$ F_u(u)=P(U<=u)=P(min{X_1,X_2}<=u)= $ $ =1-P(min{X_1,X_2}>=u)=
1-P(X_1>=u,X_2>=u)= $
per dare un approcio più concreto a questo esercizio io ho pensato che le due v.c. (ricordando iid) $ X_1 $ e$ X_2 $ si distribuiscano come una normale mettiamo caso $ X ~ N(3,sigma^2) $ con una varianza tale settata in modo che il dominio della funzione non prenda valori negativi, altrimenti non sarebbe coerente col disegno che ho fatto
Quindi in sostanza il valore u $ P(V<=v)=P(max{X_1,X_2}<=v) $ che identifica quale siano i massimi punti del dominio in X1 e X2
e così stesso discorso per il valore v $ P(U>=u)=P(min{X_1,X_2}>=u) $ che identifica il dominio dal minimo punto del dominio in X1 e X2.
tralasciando il fatto che non so come calcolarmi la derivata per la PDF
vorrei fare un altra domanda:
$ F_u(u) $ e $ F_v(v) $ alla fine danno lo stesso risultato?
perchè anche se differiscono nella individuazione del dominio $ U=X_1in[minX_1, ∞) $e $ X_in[minX_2, ∞) $ mentre per $ V=X_1in(- ∞, maxX_1] $e $ X_in(-∞, maxX_2] $ , considerano ugualmente tutta la$ f(X1,X2)$..
"FunkyGallo":
e ho provato a risolvere così..
$ F_u(u)=P(U>=u)$
mi son fermato alla prima riga.....che è sbagliata...ti ho detto di partire da $P(min(X)>u)$ ma non di inventarti una nuova definizione di F
La funzione di ripartizione del minimo è questa
$P(min(X)>u)=P(X_1>u)P(X_2>u)*...*P(X_n>u)=[1-F_X(u)]^n$
Quindi la F del min è
$F_U(u)=P(min(X)<=u)=1-P(min(X)>u)=1-[1-F_X(u)]^n$
che ovviamente non è come quella del Max[nota]che invece è
$F_V(v)=[F_X(v)]^n$ da cui derivando ottieni la densità $f_(V)(v)=n[F_X(v)]^(n-1)f_(X)(v)$[/nota]....e ci manchrebbe....derivando ottieni la densità:
$f_U(u)=n[1-F_X(u)]^(n-1)f_X(u)$
spero sia chiaro...il resto delle cose che hai scritto non le ho guardate dato che non ho molto tempo. Per capire il significato di queste trasformazioni ti consiglio di utilizzare i link che ti ho indicato, con esempi svolti e commentati. Utilizzare la distribuzione normale, della quale non sei in grado di calcolare la F non è una buona idea...meglio un'esponenziale o una uniforme (IMHO).
Prendi ad esempio una $X~ U(0;theta)$, un campione casuale di ampiezza 3 $(X_1,X_2,X_3)$ e prova a calcolare e disegnare la densità del massimo e del minimo
saluti
ok ora provo a ricontrollare. grazie. ho corretto la bestialità scritta prima della CDF. poi quando ha un attimo mi dici se almeno l'interpretazione geometrica è corretta? ciao
ho dato una rapida occhiata ma non sono sicuro di aver capito....il supporto del $Max(X,Y)$ è lo stesso delle due variabili...perché dovrebbe cambiare? e così quello del minimo
La variabile $X_1 in [a;b]$
La variabile $X_2 in [a,b]$
la variabile "massimo" prende il massimo dei valori casuali delle due variabili...quindi anche $Max(X_1,X_2) in [a,b]$
non credi?
altra cosa che non capisco è che pare che tu abbia indicato la funzione $f_(max)$ come densità di un vettore $f_(X_1,X_2)$ ma non è così....è la densità della funzione di un vettore....quindi è la densità di una variabile aleatoria univariata
prendi ad esempio una unforme, come ti ho anche suggerito.
$f(x)=1/thetaI_((0;theta))(x)$
e prendiamo un campione casuale di ampiezza 2, $(X_1,X_2)$ estratto da X. La densità del massimo è
$f_(max)=(2v)/theta^2I_((0;theta))(v)$
quindi anche lei definita in $v in (0,theta)$ essendo $int_0^(theta)(2v)/theta^2dv=1$
(magari poi ho interpretato male io eh....non è che abbia molto tempo, sto guardando queste cose mentre lavoro...)
La variabile $X_1 in [a;b]$
La variabile $X_2 in [a,b]$
la variabile "massimo" prende il massimo dei valori casuali delle due variabili...quindi anche $Max(X_1,X_2) in [a,b]$
non credi?
altra cosa che non capisco è che pare che tu abbia indicato la funzione $f_(max)$ come densità di un vettore $f_(X_1,X_2)$ ma non è così....è la densità della funzione di un vettore....quindi è la densità di una variabile aleatoria univariata
prendi ad esempio una unforme, come ti ho anche suggerito.
$f(x)=1/thetaI_((0;theta))(x)$
e prendiamo un campione casuale di ampiezza 2, $(X_1,X_2)$ estratto da X. La densità del massimo è
$f_(max)=(2v)/theta^2I_((0;theta))(v)$
quindi anche lei definita in $v in (0,theta)$ essendo $int_0^(theta)(2v)/theta^2dv=1$
(magari poi ho interpretato male io eh....non è che abbia molto tempo, sto guardando queste cose mentre lavoro...)
perfetto ti ringrazio per i chiarimenti, come ho un attimo di tempo mi guardo meglio anche il post che mi hai linkato.
giusto per rimanere sul CONCRETO "senza formule": Mettiamo caso lancio di 2 dadi $ X_1= $ lancio del primo dado $ X_2=$ vc per lancio del secondo dado.
ora se $ X [1,2,3,4,5,6] $ allora $ maxX_1=6 $ e $ maxX_2=6 $ e dunque la v.c. $ V=max(X_1,X_2)=max(X_1)*max(X_2)=6*6=36 $ e così stesso discorso per il minimo che sarà 2... questo nel caso elementare di 2 dadi.. è giusto questo ragionamente sul dado? oppure sto sbagliando io e devo considerare la loro densità congiuntamente?
ti chiedo in maniera pratica, nel reale, cosa vuol dire $ V=max(X_1,X_2) $
grazie
giusto per rimanere sul CONCRETO "senza formule": Mettiamo caso lancio di 2 dadi $ X_1= $ lancio del primo dado $ X_2=$ vc per lancio del secondo dado.
ora se $ X [1,2,3,4,5,6] $ allora $ maxX_1=6 $ e $ maxX_2=6 $ e dunque la v.c. $ V=max(X_1,X_2)=max(X_1)*max(X_2)=6*6=36 $ e così stesso discorso per il minimo che sarà 2... questo nel caso elementare di 2 dadi.. è giusto questo ragionamente sul dado? oppure sto sbagliando io e devo considerare la loro densità congiuntamente?
ti chiedo in maniera pratica, nel reale, cosa vuol dire $ V=max(X_1,X_2) $
grazie
Dunque @FunkyGallo
Mi trovo davvero a disagio nel rispondere ad una replica del genere; dai quesiti postati pensavo avessi una certa base sugli argomenti di Statistica e Calcolo delle Probabilità ma purtroppo vedo che non è così; nulla di male in tutto ciò ma, probabilmente, la causa dei dubbi che poni sono lacune sulla teoria di base, facilmente comlabili con una bella studiata di qualunque testo elementare sull'argomento.
Concetto davvero incomprensibile, soprattutto questo
Trovare il massimo fra due valori significa leggere i due valori e scegliere fra i due valori quello più grande
E questo...me lo devi spiegare perché davvero non riesco a capire il ragionamento che hai fatto
Ad ogni modo, il ragionamento corretto è il seguente:
Le due variabili possono assumere qualunque valore nell'insieme di definizione ed in modo equiprobabile, quindi il massimo fra le due variabili è il maggiore dei due valori (in realtà maggiore o uguale, visto che siamo nel discreto) che di volta in volta si presentano....che il massimo del dominio di ogni variabile marginale sia 6 non c'entra nulla.....forse confondi i numeri deterministici con i numeri aleatori, ma purtroppo non è la stessa cosa....
Innanzitutto l'esempio che hai cercato di portare non c'entra nulla con l'argomemnto in questione....la distribuzione che hai portato ad esempio è discreta e non ce l'ha una densità.....nel caso discreto la tecnica di risoluzione è diversa.
Inoltre, il massimo, il minimo, la media, la somma, la somma dei quadrati ecc ecc delle osservazioni NON SONO DEI VALORI DETERMINISTICI, sono delle variabili causali; in particolare sono Statistiche Campionarie...
Esempi concreti su cosa sia il massimo di variabili aleaorie continue? Forse non hai letto gli esempi che ti ho indicato
- durata prevista dellle lampadine
- durata di un'apparecchiatura elettronica
Ne facciamo un altro
Supponiamo di avere la seguente Variabile X con funzione di densità
$f_X(x)=1/thetaI_([0;theta])(x)$
e qui puoi concretizzare in migliaia di modi....lunghezza aleatoria di un lato di un triangolo, capacità aleatoria di un contenitore, punto aleatorio in si prevede colpirà un fulmine, valore aleatorio dei ricavi di qualche cosa.....quello che ti pare....
Il parametro di tale distribuzione è ignoto....sappiamo solo che è maggiore di zero....Come lo stimiamo?
Come dovresti sapere, per stimare questo parametro si prende un campione casuale di ampiezza n e si calcola lo stimatore di massima verosimiglianza da cui si ricava la stima di massima verosimiglianza, ovvero il valore più verosimile di tale parametro.
Ora ti chiedo: qual è lo stimatore di massima verosimiglianza del parametro $theta$?
Spero comunque di esserti stato di aiuto.
saluti
Mi trovo davvero a disagio nel rispondere ad una replica del genere; dai quesiti postati pensavo avessi una certa base sugli argomenti di Statistica e Calcolo delle Probabilità ma purtroppo vedo che non è così; nulla di male in tutto ciò ma, probabilmente, la causa dei dubbi che poni sono lacune sulla teoria di base, facilmente comlabili con una bella studiata di qualunque testo elementare sull'argomento.
"FunkyGallo":
ora se $ X [1,2,3,4,5,6] $ allora $ maxX_1=6 $ e $ maxX_2=6 $ e dunque la v.c. $ V=max(X_1,X_2)=max(X_1)*max(X_2)=6*6=36 $ e così stesso discorso per il minimo che sarà 2
Concetto davvero incomprensibile, soprattutto questo
"FunkyGallo":
$ V=max(X_1,X_2)=max(X_1)*max(X_2)=6*6=36 $
Trovare il massimo fra due valori significa leggere i due valori e scegliere fra i due valori quello più grande
E questo...me lo devi spiegare perché davvero non riesco a capire il ragionamento che hai fatto
"FunkyGallo":
e così stesso discorso per il minimo che sarà 2
Ad ogni modo, il ragionamento corretto è il seguente:
Le due variabili possono assumere qualunque valore nell'insieme di definizione ed in modo equiprobabile, quindi il massimo fra le due variabili è il maggiore dei due valori (in realtà maggiore o uguale, visto che siamo nel discreto) che di volta in volta si presentano....che il massimo del dominio di ogni variabile marginale sia 6 non c'entra nulla.....forse confondi i numeri deterministici con i numeri aleatori, ma purtroppo non è la stessa cosa....
Innanzitutto l'esempio che hai cercato di portare non c'entra nulla con l'argomemnto in questione....la distribuzione che hai portato ad esempio è discreta e non ce l'ha una densità.....nel caso discreto la tecnica di risoluzione è diversa.
Inoltre, il massimo, il minimo, la media, la somma, la somma dei quadrati ecc ecc delle osservazioni NON SONO DEI VALORI DETERMINISTICI, sono delle variabili causali; in particolare sono Statistiche Campionarie...
Esempi concreti su cosa sia il massimo di variabili aleaorie continue? Forse non hai letto gli esempi che ti ho indicato
- durata prevista dellle lampadine
- durata di un'apparecchiatura elettronica
Ne facciamo un altro
Supponiamo di avere la seguente Variabile X con funzione di densità
$f_X(x)=1/thetaI_([0;theta])(x)$
e qui puoi concretizzare in migliaia di modi....lunghezza aleatoria di un lato di un triangolo, capacità aleatoria di un contenitore, punto aleatorio in si prevede colpirà un fulmine, valore aleatorio dei ricavi di qualche cosa.....quello che ti pare....
Il parametro di tale distribuzione è ignoto....sappiamo solo che è maggiore di zero....Come lo stimiamo?
Come dovresti sapere, per stimare questo parametro si prende un campione casuale di ampiezza n e si calcola lo stimatore di massima verosimiglianza da cui si ricava la stima di massima verosimiglianza, ovvero il valore più verosimile di tale parametro.
Ora ti chiedo: qual è lo stimatore di massima verosimiglianza del parametro $theta$?
Spero comunque di esserti stato di aiuto.
saluti
dici bene, cerco di risolvere esercizi che ancora non sono alla mia portata. Per questo, quando non so come procedere, ho bisogno di collegare un concetto più ELEMENTARE possibile (e REALE) all'esercizio o formula che sto studiando. Comunque ti ringrazio mi sei stato MOLTO d'aiuto!
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