Esercizio variabili casuali - risoluzione più rapida?

[MaxwellD]

Devo risolvere il seguente esercizio.

"In un referendum il risultato è stato 52.67% SI. In un paese con 1654 votanti qual è la probabilità che i SI siano stati minoritari?"

Ora, io penso che un metodo corretto (ditemi se sbaglio) per risolvere l'esercizio sia: esaminare il caso 828 NO, 826 SI e stabilirne la probabilità tramite la formula $((1654),(824))$ $*p^828*(1-p)*826$ cioè trattarla come una distribuzione binomiale. Ovviamente visto che il problema chiede che i SI siano minoritari in modo generico devo calcolarmi analogamente la probabilità anche nel caso 829 NO, 825 SI e via di seguito (e sommarle).

Essenzialmente le mie domande sono due:

1) è giusto questo procedimento?
2) ce n'è uno più rapido?

[Rggb1]

Interessante, e deja-vu. Devo consultare un libro che ora non ho sottomano...

[elgiovo]

Il procedimento è corretto. Visto il "numero di prove" elevato e il fatto che la "probabilità di successo" è comparabile a 1/2, direi che invece di fare quella sommatoria formidabile ti conviene usare il teorema di De Moivre - Laplace e approssimare la binomiale con una gaussiana.

[MaxwellD]

Grazie mille!

[Rggb1]

@elgiovo: proprio quello che ricordavo, grazie.

In pratica anche se la "probabilità di successo", per così dire, fosse assai diversa da 1/2 andrebbe ugualmente bene: è sufficiente che essa non sia troppo piccola o troppo grande.

[MaxwellD]

Quindi, per curiosità mia, questo "essere comparabile a 1/2" numericamente in cosa si traduce? cioè è quando la probabilità di successo diventa "troppo piccola (o grande)" per poter applicare questo teorema?

[elgiovo]

Devi avere un numero \(\displaystyle n \) di prove grande e soddisfare \(\displaystyle np(1-p) \gg 1\) (prenderei 10 come lower bound)