Esercizio Variabili aleatorie singole
Buonanotte a tutti 
ho bisogno di chiarimenti riguardo questo esercizio:
Si consideri un esperimento il cui risultato è uno dei valori {-1,0,1} con probabilità {1/4,1/2,1/4} rispettivamente. La variabile aleatoria X è la somma dei risultati di due prove indipendenti dell'esperimento. Calcolare a) Pdf e cdf di X; b) Pr {X>0}.
Domanda 1) Quando si costruisce una pdf e una cdf di una variabile basta "riempire" la tabella?
Domanda 2) Nel definire lo spazio campione degli eventi composti, e nell'andare a calcolare le probabilità degli eventi composti tramite il prodotto, eventi composti che si ripetono più volte come (0,0) vanno contato due volte?
Domanda 3) Nel calcolo della probabilità degli eventi composti, indicando la probabilità con Pr{X=2}(per esempio), è un errore o un abuso di notazione?
L'esercizio l'ho svolto ma la cdf "raggiunge" 1 in X=0.
Sono gradite quante più correzioni possibili. Grazie
ho bisogno di chiarimenti riguardo questo esercizio:
Si consideri un esperimento il cui risultato è uno dei valori {-1,0,1} con probabilità {1/4,1/2,1/4} rispettivamente. La variabile aleatoria X è la somma dei risultati di due prove indipendenti dell'esperimento. Calcolare a) Pdf e cdf di X; b) Pr {X>0}.
Domanda 1) Quando si costruisce una pdf e una cdf di una variabile basta "riempire" la tabella?
Domanda 2) Nel definire lo spazio campione degli eventi composti, e nell'andare a calcolare le probabilità degli eventi composti tramite il prodotto, eventi composti che si ripetono più volte come (0,0) vanno contato due volte?
Domanda 3) Nel calcolo della probabilità degli eventi composti, indicando la probabilità con Pr{X=2}(per esempio), è un errore o un abuso di notazione?
L'esercizio l'ho svolto ma la cdf "raggiunge" 1 in X=0.
Sono gradite quante più correzioni possibili. Grazie
Risposte
up
Non puoi fare un up prima di 24 leggi il regolamento.
Comunque:
La cdf è una funzione da $RR$ in $[0,1]$ quindi se ti si chiede di trovarla, tu devi trovare una funzione.
Cosa intendi con tabella?
Ad esempio in questo caso ti si chiede di trovarla per la v.a. $X=E_1+E_2$ dove $E_1$ ed $E_2$ sono i risultati dei due esperimenti. Ti si chiede di trovare la cdf e pdf. La pdf è la funzione di densità di probabilità(*). Questa ti dice per ogni x la probabiità che la v.a. sia uguale al valore x (rivedi la nota questo è vero per la f di massa; la pdf per una v.a. assolutamente continua non ti da una probabilità ma una densità).
Insomma se consideri X questa assume valori in (-2,-1,0,1,2} con quali probabilità? te le devi calcolare: ad esempio $P(X=-2)=P(E_1=-1 nn E_2=-1)=1/4 1/4$.
2) non ho bene capito; Le possibili uscite della variaile doppia $(E_1,E_2)$ sono 9=3*3 e la combinazione (0,0) esce ovviamente una volta sola.
3) Nessun abuso di notazione: al posto di Pr io uso P; al posto delle graffe uso le tonde; al di la di questa differenza X=2 è un evento ed stai intendendo la sua probabilità.
Se in X=0 raggiunge 1 stai sbagliando posti i conti che li vediamo.
(*)Piccola precisazione: la pdf si definisce per v.a. assolutamente continue, in caso di variabili aleatorie discrete si parla di funzione di massa di probabilità. Penso che tu utilizzi pdf per entrambe le definizioni.
Comunque:
La cdf è una funzione da $RR$ in $[0,1]$ quindi se ti si chiede di trovarla, tu devi trovare una funzione.
Cosa intendi con tabella?
Ad esempio in questo caso ti si chiede di trovarla per la v.a. $X=E_1+E_2$ dove $E_1$ ed $E_2$ sono i risultati dei due esperimenti. Ti si chiede di trovare la cdf e pdf. La pdf è la funzione di densità di probabilità(*). Questa ti dice per ogni x la probabiità che la v.a. sia uguale al valore x (rivedi la nota questo è vero per la f di massa; la pdf per una v.a. assolutamente continua non ti da una probabilità ma una densità).
Insomma se consideri X questa assume valori in (-2,-1,0,1,2} con quali probabilità? te le devi calcolare: ad esempio $P(X=-2)=P(E_1=-1 nn E_2=-1)=1/4 1/4$.
2) non ho bene capito; Le possibili uscite della variaile doppia $(E_1,E_2)$ sono 9=3*3 e la combinazione (0,0) esce ovviamente una volta sola.
3) Nessun abuso di notazione: al posto di Pr io uso P; al posto delle graffe uso le tonde; al di la di questa differenza X=2 è un evento ed stai intendendo la sua probabilità.
Se in X=0 raggiunge 1 stai sbagliando posti i conti che li vediamo.
(*)Piccola precisazione: la pdf si definisce per v.a. assolutamente continue, in caso di variabili aleatorie discrete si parla di funzione di massa di probabilità. Penso che tu utilizzi pdf per entrambe le definizioni.
Grazie per la risposta.
2) Sono convinto che il mio errore sta proprio in questo punto. Le possibili uscite di di (E1, E2) non sono 12? Le combinanzioni di tre elementi in classe 2 con ripetizione? Però pensandoci bene hai ragione
Ma come faccio a costruire la funzione cdf e pdf?
Per tabella intendevo una tabella con un'intestazione di questo tipo |X|$f_X$|$F_X$| e sotto chiaramente i valori che troviamo.
La domanda riguardo l'abuso di notazione era dovuta alla proprietà per cui la probabilità in un singolo punto è pari a zero.
PS. Non è che potresti consigliarmi un testo con esercizi?
2) Sono convinto che il mio errore sta proprio in questo punto. Le possibili uscite di di (E1, E2) non sono 12? Le combinanzioni di tre elementi in classe 2 con ripetizione? Però pensandoci bene hai ragione
Ma come faccio a costruire la funzione cdf e pdf?
Per tabella intendevo una tabella con un'intestazione di questo tipo |X|$f_X$|$F_X$| e sotto chiaramente i valori che troviamo.
La domanda riguardo l'abuso di notazione era dovuta alla proprietà per cui la probabilità in un singolo punto è pari a zero.
PS. Non è che potresti consigliarmi un testo con esercizi?
Le uscite sono 9 e sono:
(-1,-1)(-1,0)(-1,1)
(0,-1)(0,0)(0,1)
(1,-1)(1,0)(1,1).
Ognuna di queste ha una probabilità positiva che calcoli come il prodotto delle probabilità degli $e_1$ e $E_2$ con il corrispondente valore (esattamente come ho fatto nel post precedente). Questa sarebbe la distribuzione della variaile doppia. A questo punto sommi le singole componenti per le 9 uscite ed ottieni i valori della variabile somma.
Ad esempio (-1,-1) ha somma -2 ed è l'unica coppia che ha somma -2; quindi la probabilità che la somma sia -2 è la probabilità che entrambe le E assumano valore -1.
Una volta che ti sei trovato tutte queste calcoli la cdf seguendo la definizione $F(x)=P(X<=x)$
No non è un abuso di notazione perchè la v.a. è discreta quindi ha probabilità positiva in singoli punti (per questo ti parlavo di massa); al contrario una v.a. assolutamente continua ha probabilità 0 su singoli punti. Non è comunque un abuso di notazione anche se fosse assolutamente continua è solo che quella probabilità varrebe 0.
Per il liro ti posso dire che io ho studiato la probailità base sul libro di Dall'Aglio "Calcolo delle probabilità" perchè era il libro di testo; c'è a chi piace a chi no, a me è piaciuto. Andando avanti ho studiato poi su altri libri con una certa notorietà (ed ovviamente ai quali i libri Italiani si ispirano); dipende comunque da che finalità hai e quindi da che livello vuoi raggiungere.
(-1,-1)(-1,0)(-1,1)
(0,-1)(0,0)(0,1)
(1,-1)(1,0)(1,1).
Ognuna di queste ha una probabilità positiva che calcoli come il prodotto delle probabilità degli $e_1$ e $E_2$ con il corrispondente valore (esattamente come ho fatto nel post precedente). Questa sarebbe la distribuzione della variaile doppia. A questo punto sommi le singole componenti per le 9 uscite ed ottieni i valori della variabile somma.
Ad esempio (-1,-1) ha somma -2 ed è l'unica coppia che ha somma -2; quindi la probabilità che la somma sia -2 è la probabilità che entrambe le E assumano valore -1.
Una volta che ti sei trovato tutte queste calcoli la cdf seguendo la definizione $F(x)=P(X<=x)$
No non è un abuso di notazione perchè la v.a. è discreta quindi ha probabilità positiva in singoli punti (per questo ti parlavo di massa); al contrario una v.a. assolutamente continua ha probabilità 0 su singoli punti. Non è comunque un abuso di notazione anche se fosse assolutamente continua è solo che quella probabilità varrebe 0.
Per il liro ti posso dire che io ho studiato la probailità base sul libro di Dall'Aglio "Calcolo delle probabilità" perchè era il libro di testo; c'è a chi piace a chi no, a me è piaciuto. Andando avanti ho studiato poi su altri libri con una certa notorietà (ed ovviamente ai quali i libri Italiani si ispirano); dipende comunque da che finalità hai e quindi da che livello vuoi raggiungere.
OT
a me no
fine OT
"DajeForte":
Per il liro ti posso dire che io ho studiato la probailità base sul libro di Dall'Aglio "Calcolo delle probabilità" perchè era il libro di testo; c'è a chi piace a chi no, a me è piaciuto.
a me no
fine OT
Si la probabilità di base va più che bene per il momento. Grazie e DajeForte!!!
"itpareid":
OT
[quote="DajeForte"]
Per il liro ti posso dire che io ho studiato la probailità base sul libro di Dall'Aglio "Calcolo delle probabilità" perchè era il libro di testo; c'è a chi piace a chi no, a me è piaciuto.
a me no
fine OT[/quote]
Ti posso chiedere il perchè?
Era il libro che consigliava la prof con cui ho fatto l'esame, ma di fatto lo seguiva solo in piccolissima parte. Quindi oltre a trovarlo "poco utile", l'ho trovato anche troppo "incasinato" ed onestamente anche difficile...
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