Esercizio variabili aleatorie esponenziali

[Oiram92]

Siano \(\displaystyle X_1 \) e \(\displaystyle X_2 \) due variabili aleatorie indipendenti esponenziali con media unitaria. Calcolare :

(a) il valore medio di \(\displaystyle Y = min(X_1,X_2) \)
(b) la probabilità che \(\displaystyle X_1>X_2 \)
(c) la probabilità che \(\displaystyle X_2<2 \), dato per certo che \(\displaystyle Y<2 \).

Suggerimento: Capire che tipo di variabile è la \(\displaystyle Y \) calcolando la sua distribuzione cumulativa di probabilità come \(\displaystyle F_Y(y) = 1 - \mathbb{P}(Y>y) \)

[size=150]Svolgimento[/size]
Innanzitutto sappiamo che in generale una variabile aleatoria esponenziale ha densità di probabilità pari a :

\(\displaystyle f_X(x) = \lambda e^{-\lambda\;x} \)

Sappiamo che questo tipo di variabili hanno supporto in \(\displaystyle \mathbb{R}^+ \) , inoltre il testo afferma che entrambe la variabili \(\displaystyle X_1,X_2 \) hanno media unitaria quindi :

\(\displaystyle E[X] = \int_{0}^{+\infty} \lambda\;x\cdot e^{-\lambda\;x} dx = \lambda\; \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-\lambda\;x}}{\lambda} dx = \left[- \frac{e^{-\lambda\;x}}{\lambda} \right]_{0}^{+\infty} = \frac{1}{\lambda} \)

pertanto deve essere \(\displaystyle \lambda = 1 \) per entrambe le variabili, ovvero :

\(\displaystyle f_{X_1}(x_1) = e^{-x_1} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f_{X_2}(x) = e^{-x_2} \)

Adesso, cercando online (perchè nel mio libro non cè..) ho trovato che :

\(\displaystyle F_{Y}(y) = \begin{cases} 1-e^{-2y}, & \mbox{se } (x_1,x_2) \in [0,+\infty[ \\ 0, & \mbox{altrove } \end{cases} \)

che sinceramente non saprei come ricavare..dovrei seguire la strada del "suggerimento" dato dal testo ma non so da dove iniziare, consigli?

1) Andiamo a ricavare il valore medio della \(\displaystyle Y \)

\(\displaystyle E[Y] = \int_{0}^{+\infty} 2y\cdot e^{-2y} dy = \frac{1}{2} \)

2) Per calcolare la probabilità \(\displaystyle \mathbb{P}(X_1>X_2) \) sapendo che \(\displaystyle X_1,X_2 \) sono indipendenti vado a calcolare la densità di probabilità congiunta :

\(\displaystyle f_{X_1\;X_2}(x_1,x_2) = e^{-x_1} \cdot e^{-x_2} \;\;\;\;\;\;\;\;\; \mbox{per } (x_1,x_2) \in [0,+\infty[ \)

e integrando sull'insieme :

\(\displaystyle I = \{(x_1,x_2) \in \mathbb{R} : x_2 < x_1 < +\infty \cup 0 < x_2 < +\infty \} \)

otteniamo :

\(\displaystyle \mathbb{P}(X_1>X_2) = \int_{0}^{+\infty} e^{-x_2} \;dx_2 \int_{x_2}^{+\infty} e^{-x_1} dx_1 = \int_{0}^{+\infty} e^{-2x_2} dx_2 = \frac{1}{2} \)

3) Il terzo punto invece mi sembra un tranello perchè la variabile \(\displaystyle X_2 \) è indipendente da \(\displaystyle Y \) e pertanto la probabilità che sia \(\displaystyle X_2<2 \) non ha nessun nesso logico con \(\displaystyle \mathbb{P}(Y<2)=1 \) o perlomeno non lo vedo. Io farei la solita integrazione :

\(\displaystyle \mathbb{P}(X_2<2) = \int_{0}^{2} e^{-x_2} dx_2 = 1 - e^{-2} \)

può essere ?

[Lo_zio_Tom]

Il 3 è una probabilità condizionata

$P (X_(2)<2|Y <2)=1$ essendo sicuramente $ Y sube X_(2) $


Per quanto riguarda la distribuzione del minimo la puoi facilmente ricavare cosí:

$ F_(Z)=P (min (xy) z)=1-P (X> z, Y> z)=$

$1-P (X> z) P (Y> z)=1-[P (X> z)]^2=1-e^(-2z) $

Per il resto è tutto ok

ciao

[Oiram92]

"tommik":
$P (X_(2)<2|Y <2)=1$ essendo sicuramente $ Y sub X_(2) $

Scusami mi sfugge il ragionamento con cui arrivi a dire che la probabilità dell'evento \(\displaystyle X_2<2 \) è certa. Dunque, essendo una probabilità condizionata si ha che :

\(\displaystyle \mathbb{P}(X_2<2|Y <2) = \frac{\mathbb{P}(X_2<2 \cap Y<2)}{\mathbb{P}(Y<2) } = \mathbb{P}(X_2<2 \cap Y<2) = F_{X_2\;Y}(x_2=2,y=2)\)

quindi dovrei andare a ricavare la distribuzione congiunta di \(\displaystyle X_2,Y \). Adesso, se sapessi che \(\displaystyle X_2,Y \) sono indipendenti il gioco è fatto però per come è definita la \(\displaystyle Y \) (credo) che non possiamo dirlo in quanto il suo valore dipende dai valori che assumono \(\displaystyle X_1,X_2 \). Come si procede analiticamente?

[Lo_zio_Tom]

Se $B sub A $ allora $P (A|B)=(P (A nn B ))/(P (B))=1$

A me sembra ovvio...altre strade percorribili non ne vedo

...e se invece ti chiesessi di calcolare $ P (X_(1)=Y) $ ??

Se non è chiaro domani provo a spiegarmi meglio...scrivere col cellulare è complicato

[Oiram92]

"tommik":Se $B sub A $ allora $P (A|B)=(P (A nn B ))/(P (B))=1$

ho bisogno dei miei tempi ma ci sono arrivato anche io in pratica essendo :

[fcd="Intersezione"][FIDOCAD]
EV 70 30 165 110 0
EV 95 60 135 90 0
TY 130 25 4 3 0 0 0 * A
TY 125 55 4 3 0 0 0 * B[/fcd]

L'intersezione \(\displaystyle A \cap B \) è \(\displaystyle B \) stesso quindi :

\(\displaystyle \mathbb{P}(A | B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} = \frac{\mathbb{P}(B)}{\mathbb{P}(B)} = 1 \)

"tommik":...e se invece ti chiesessi di calcolare $ P (X_(1)=Y) $ ??

\(\displaystyle Y \) assume il valore \(\displaystyle X_1 \) solo quando \(\displaystyle X_1

\(\displaystyle \mathbb{P}(Y=X_1) = \mathbb{P}(X_1

perchè conosciamo \(\displaystyle \mathbb{P}(X_1 > X_2) \) dal punto 2) giusto?

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