Esercizio valore atteso condizionato

[franchinho]

Dato $X$ e $Y$ 2 v.c. definite sullo stesso spazio di probabilità, e dato $E(X|Y=y)$ una expectation condizionale di $X$ dato $Y=Y$. Verifica se è vero $ E(X)=int_(-\infty)^(\infty) E(X|Y=y) dFy $.
Svolgimento:
introduco 4 ipotesi:
- $E(X|Y=y)$ è una v.c. nuova;
- esiste un vettore $(X, Y)$;
- densità congiunta $ rho (x,y) $;
- densità marginale $ rho _2(y)=int_-\infty^\inftyrho(x,y)dx $.
Procedo per step:
$ E(X|Y=y_i):=int_-\infty^inftyxrho(x|y)dx=int_-infty^inftyx(rho(x,y))/(rho_2(y))dx $.
Sostituisco la formula appena trovata, quindi diventa:
$ E(E(X|Y))=int_-infty^infty(int_-infty^inftyx(rho(x,y))/(rho_2(y))dx)rho(y)dy= $
e ora non capisco come ottenere questa (quali semplificazioni?):
$ int_-infty^inftyxrho(x)dx=E(X) $?

[Lo_zio_Tom]

La relazione $E[E(X|Y=y)]=E[X]$ è vera e te la dimostro anche più in generale, con $g(X)$ qualunque e non necessariamente $g(X)=X$


$E[E(g(X)|Y=y)]=int_(-oo)^(+oo)E[g(X)|y]f_Y(y)dy=int_(-oo)^(+oo)[int_(-oo)^(+oo)g(x)f_(X|Y)(x|y)dx]f_Y(y)dy=$

$=int_(-oo)^(+oo)g(x)[int_(-oo)^(+oo)f_(XY)(x,y)dy]dx=int_(-oo)^(+oo)g(x)f_X(x)dx=E[g(X)]$

ponendo in particolare $g(X)=X$ hai la tua dimostrazione

saluti

EDIT: per i passaggi intermedi ricorda che

$dF_Y(y)=f_Y(y)dy$

$f(x,y)=f(x)f(y|x)=f(y)f(x|y)$

$int_(-oo)^(+oo)f(x,y)dx=f(y)$ e $int_(-oo)^(+oo)f(x,y)dy=f(x)$

PS: non puoi scrivere: dato $Y=Y$; la scrittura corretta è dato $Y=y$