Esercizio valore atteso
Ciao a tutti sto facendo un esercizio dei temi d'esame la prima parte l'ho risolta, il problema sorge sulla seconda.
Ho quattro meccanismi con tempo di vita $t^2$ per $0 < t < 1$, sia M la variabile che descrive il massimo tra i quattro tempi di vita. Determinare il valore atteso di M.
Avendo $P[M <= t]= P(X_1<= t, X_2<= t, X_3<= t, X_4<= t)$ trovo $(t^2)^4=t^8$ da cui trovo la funzione di sopravvivenza $1-t^8$.
A questo punto devo trovare il valor medio di M, io lo calcolerei avento come intervallo $(0,1)$ così:
$int_0^1(1-t^8)*t$ invece ho visto che nel quesito risolto era stato risolto come $int_0^1(1-t^8)$ mi sapete dire il perchè?
Ho quattro meccanismi con tempo di vita $t^2$ per $0 < t < 1$, sia M la variabile che descrive il massimo tra i quattro tempi di vita. Determinare il valore atteso di M.
Avendo $P[M <= t]= P(X_1<= t, X_2<= t, X_3<= t, X_4<= t)$ trovo $(t^2)^4=t^8$ da cui trovo la funzione di sopravvivenza $1-t^8$.
A questo punto devo trovare il valor medio di M, io lo calcolerei avento come intervallo $(0,1)$ così:
$int_0^1(1-t^8)*t$ invece ho visto che nel quesito risolto era stato risolto come $int_0^1(1-t^8)$ mi sapete dire il perchè?
Risposte
La tua formula varrebbe se \(\displaystyle 1-t^8 \) fosse la densità di probabilità, invece da quanto ho capito è la funzione di sopravvivenza, per cui è giusto come nella risoluzione del quesito, infatti per una v.a. generica $X$ tale che $P[X\geq 0]=1$, vale
\(\displaystyle E[X]=\int_0^{\infty}\left\{1-F(x)\right\}\text{d}x \)
dove $1-F(x)$ è la funzione di sopravvivenza.
\(\displaystyle E[X]=\int_0^{\infty}\left\{1-F(x)\right\}\text{d}x \)
dove $1-F(x)$ è la funzione di sopravvivenza.
Grazie avevo proprio quel dubbio, ma non sapevo fosse una regola. Questa cosa vale solo per le funzioni di sopravvivenza o anche per ad esempio quelle di ripartizione?
La formula è quella, con $1-F(x)$, che poi la chiami "funzione di sopravvivenza" o "uno meno funzione di ripartizione" è lo stesso.
Capito! Grazie mille!
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