Esercizio v.a. esponenziale e uniformemente distribuita

[sam17091]

Ciao a tutti, ho dei problemi con lo svolgimento di questo esercizio:
La durata in km di un auto è regolata da unavariabile esponenziale di parametro $ lambda = 1/(20) $. Acquisto un auto che ha gia percorso 10000km.
1) Qual'è la probabilità che l'auto percorra altri 20000km?
2) Ripetere lo stesso esercizio supponendo che la duarata (in migliaia di km) sia una variabile distribuita uniformemente su $ (0,40) $.

Allora per risposndere alla prima domanda io ho impostato la soluzione così:
$ x $ è la durata in km della macchina, quindi $ P(X > 20) = int_(20000)^(+oo) 1/(20)e^(-1/(20)*20000) dx != e^(-1) $ (risultato libro)

Per la seconda domanda invece non so come impostarlo.

Mi date una mano a capire dove sbaglio ed a impostare il secondo punto?

Grazie

[Lo_zio_Tom]

"sam1709":
1) Qual'è la probabilità che l'auto percorra ALMENO altri 20000km?

Prima di tutto una piccola imprecisione del testo....se non ci mettiamo l'avverbio la probabilità verrebbe zero....dato che la distribuzione è continua....inoltre, evidentemente X indica i km percorsi ma espressi in migliaia di km

Il testo ti chiede una probabilità condizionata..almeno altri 20k km dato che ne ha già fatti 10k significa:

$P(X>30|X>10)=(P(X>30))/(P(X>10))=e^(-3/2)/e^(-1/2)=e^(-1)$

capito questo il secondo è identico....ma con una distribuzione uniforme invece che esponenziale (quindi anche più semplice). In questo caso la densità è $f(x)=1/40$ per $X in (0;40)$ quindi si risolve molto più semplicemente così:


$P(X>30|X>10)=(10/40)/(30/40)=1/3$

Per quanto riguarda la distribuzione esponenziale, provare per credere, la probabilità richiesta potrebbe esser calcolata anche più semplicemente così:

$P(X>30|X>10)=P(X>20)=e^(-20/20)=e^(-1)$

e ciò in quanto tale distribuzione gode della proprietà di "assenza di memoria"

spero che sia chiaro

ciao

[sam17091]

Grazie mille per la risposta