Esercizio v.a discrete
Ciao a tutti 
ho il seguente esercizio
Vi sono due monete, A equa e B che da testa con una probabilità pari a $1/4$ .
Sia N1 il numero di lanci necessari per ottenere la prima testa sulla moneta A e sia N2 il
numero di lanci necessari per ottenere la prima testa sulla moneta B
(a) Calcolare la probabilità che esca testa sulla moneta A prima che sulla moneta
B.
(b) Calcolare il numero medio di lanci per ottenere la prima testa (su A o su B)
Per il punto b)
Noto che sia $N1$ sia $N2$ sono due geometriche rispettivamente di parametro $p=1/2$ e $q=1/4$ rispettivamente quindi dal testo dell'esercizio quello che devo trovare è
$P(N)=P(min(N1,N2))=Geom(p+q-pq)=Geom(5/8)$ seguirà che il valore atteso $E(N)=8/5$
ora per il punto a) iniziano i problemi
ho capito che devo calcolare
$P(T=k)=P(N1<=N2)$ supponendo che inizia prima il giocatore A
però non so come calcolare questa quantità.
Grazie mille in anticipo
ho il seguente esercizio
Vi sono due monete, A equa e B che da testa con una probabilità pari a $1/4$ .
Sia N1 il numero di lanci necessari per ottenere la prima testa sulla moneta A e sia N2 il
numero di lanci necessari per ottenere la prima testa sulla moneta B
(a) Calcolare la probabilità che esca testa sulla moneta A prima che sulla moneta
B.
(b) Calcolare il numero medio di lanci per ottenere la prima testa (su A o su B)
Per il punto b)
Noto che sia $N1$ sia $N2$ sono due geometriche rispettivamente di parametro $p=1/2$ e $q=1/4$ rispettivamente quindi dal testo dell'esercizio quello che devo trovare è
$P(N)=P(min(N1,N2))=Geom(p+q-pq)=Geom(5/8)$ seguirà che il valore atteso $E(N)=8/5$
ora per il punto a) iniziano i problemi
ho capito che devo calcolare
$P(T=k)=P(N1<=N2)$ supponendo che inizia prima il giocatore A
però non so come calcolare questa quantità.
Grazie mille in anticipo
Risposte
"Sasuke93":
ora per il punto a) iniziano i problemi
Osserviamo che $P(A=x)=(1/2)^x$ e $P(B=y)=1/4 (3/4)^(y-1)$
quindi
$P(A
$=1/4\sum_(x=1)^(oo)(1/2)^x(3/4)^x 1/(1-3/4)=\sum_(x=1)^(oo)(3/8)^x=3/8 1/(1-3/8)=3/5$
$=1/4\sum_(x=1)^(oo)(1/2)^x(3/4)^x 1/(1-3/4)=\sum_(x=1)^(oo)(3/8)^x=3/8 1/(1-3/8)=3/5$
$ =1/4\sum_(x=1)^(oo)(1/2)^x(3/4)^x 1/(1-3/4)$
non ho capito questo passaggio hai sostituito $x$ a $y$ però non comprendo quell $1/(1-3/4)$ dove è uscito.
Grazie comunque
non ho capito questo passaggio hai sostituito $x$ a $y$ però non comprendo quell $1/(1-3/4)$ dove è uscito.
Grazie comunque
sono semplici passaggi sulla serie geometrica
$\sum_{y=x+1)^(oo)(3/4)^(y-1)=(3/4)^x+(3/4)^(x+1)+...+=(3/4)^x[1+3/4+(3/4)^2+...]=(3/4)^x1/(1-3/4)$
se non dovesse essere chiaro devi ri-studiare la serie geometrica; si trova dovunque, anche sui libri delle superiori
$\sum_{y=x+1)^(oo)(3/4)^(y-1)=(3/4)^x+(3/4)^(x+1)+...+=(3/4)^x[1+3/4+(3/4)^2+...]=(3/4)^x1/(1-3/4)$
se non dovesse essere chiaro devi ri-studiare la serie geometrica; si trova dovunque, anche sui libri delle superiori
Misà che mi conviene 
. Comunque è gia più chiaro. Grazieeeeee
. Comunque è gia più chiaro. Grazieeeeee
Stavo rivedendo l'esercizio dopo aver ristudiato la serie geometrica, come gentilmente suggerito. Ora volevo riprovare l'esercizio con $P(A<=B)$ in questo caso come diventano gli estremi della serie?
il modo più semplice è sommarci $P(A=B)$
$P(A=B)=\sum_{x=1}^{oo}1/2\cdot(1/2)^(x-1)\cdot1/4\cdot(3/4)^(x-1)=1/8\sum_(x=1)^(oo)(3/8)^(x-1)=1/8\cdot1/(1-3/8)=1/5$
Quindi in totale $4/5$
Se invece vuoi rifare l'esercizio dall'inizio
$P(A<=B)=\sum_(x=1)^(oo)p(x)\sum_(y=x)^(oo)p(y)$
Quindi
$P(A<=B)=\sum_{x=1}^{oo}1/2\cdot(1/2)^(x-1)\cdot1/4\sum_{y=x}^{oo}(3/4)^(y-1)=...=1/2\cdot8/5=4/5$
$P(A=B)=\sum_{x=1}^{oo}1/2\cdot(1/2)^(x-1)\cdot1/4\cdot(3/4)^(x-1)=1/8\sum_(x=1)^(oo)(3/8)^(x-1)=1/8\cdot1/(1-3/8)=1/5$
Quindi in totale $4/5$
Se invece vuoi rifare l'esercizio dall'inizio
$P(A<=B)=\sum_(x=1)^(oo)p(x)\sum_(y=x)^(oo)p(y)$
Quindi
$P(A<=B)=\sum_{x=1}^{oo}1/2\cdot(1/2)^(x-1)\cdot1/4\sum_{y=x}^{oo}(3/4)^(y-1)=...=1/2\cdot8/5=4/5$
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