Esercizio sulle variabili di Poisson
Salve a tutti!
Fra pochi giorni avrò un esame di Probabilità e mi sto esercitando sulle variabili aleatorie. Mi trovo in difficoltà con un esercizio sulle variabili di Poisson. Ve lo allego.
Una società offre tre tipi di servizi, \(\displaystyle A \), \(\displaystyle B \) e \(\displaystyle C \). Il numero di clienti della società è descritto da una variabile di Poisson \(\displaystyle X \) con valore di attesa pari a \(\displaystyle \mathbb{E}[X] = 50 \). Ogni cliente richiede, l'uno indipendentemente dall'altro, il servizio \(\displaystyle A \) con probabilità \(\displaystyle 1/2 \), il servizio \(\displaystyle B \) con probabilità \(\displaystyle 1/3 \) e il servizio \(\displaystyle C \) con probabilità \(\displaystyle 1/6 \). Calcolare la probabilità che il servizio \(\displaystyle A \) sia richiesto da \(\displaystyle 20 \) clienti e calcolare il valore di attesa e la varianza del numero di clienti che sceglie il servizio \(\displaystyle A \).
Io l'ho pensato così, ma onestamente non so se il mio ragionamento sia corretto. Siccome il parametro \(\displaystyle \lambda \) della variabile \(\displaystyle X \) è uguale al suo valore atteso, ho che \(\displaystyle \lambda = 50 \). La probabilità che la società abbia \(\displaystyle 20 \) clienti, indipendentemente da quale servizio scelgano, dovrebbe essere data da
\(\displaystyle \mathbb{P} \left \{ X = 20 \right \} = e^{-50} \frac{50^{20}}{20!} \).
Ora, poiché i clienti possono scegliere il servizio \(\displaystyle A \) con probabilità \(\displaystyle 1/2 \), dovrebbe essere sufficiente dividere la precedente probabilità per \(\displaystyle 2 \). Infatti, sommando le probabilità che i clienti richiedano uno dei tre servizi, si ottiene \(\displaystyle 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1 \). Pensate che possa andare? Per quanto riguarda il valore atteso e la varianza, purtroppo non so da dove cominciare...
Please help!
Fra pochi giorni avrò un esame di Probabilità e mi sto esercitando sulle variabili aleatorie. Mi trovo in difficoltà con un esercizio sulle variabili di Poisson. Ve lo allego.
Una società offre tre tipi di servizi, \(\displaystyle A \), \(\displaystyle B \) e \(\displaystyle C \). Il numero di clienti della società è descritto da una variabile di Poisson \(\displaystyle X \) con valore di attesa pari a \(\displaystyle \mathbb{E}[X] = 50 \). Ogni cliente richiede, l'uno indipendentemente dall'altro, il servizio \(\displaystyle A \) con probabilità \(\displaystyle 1/2 \), il servizio \(\displaystyle B \) con probabilità \(\displaystyle 1/3 \) e il servizio \(\displaystyle C \) con probabilità \(\displaystyle 1/6 \). Calcolare la probabilità che il servizio \(\displaystyle A \) sia richiesto da \(\displaystyle 20 \) clienti e calcolare il valore di attesa e la varianza del numero di clienti che sceglie il servizio \(\displaystyle A \).
Io l'ho pensato così, ma onestamente non so se il mio ragionamento sia corretto. Siccome il parametro \(\displaystyle \lambda \) della variabile \(\displaystyle X \) è uguale al suo valore atteso, ho che \(\displaystyle \lambda = 50 \). La probabilità che la società abbia \(\displaystyle 20 \) clienti, indipendentemente da quale servizio scelgano, dovrebbe essere data da
\(\displaystyle \mathbb{P} \left \{ X = 20 \right \} = e^{-50} \frac{50^{20}}{20!} \).
Ora, poiché i clienti possono scegliere il servizio \(\displaystyle A \) con probabilità \(\displaystyle 1/2 \), dovrebbe essere sufficiente dividere la precedente probabilità per \(\displaystyle 2 \). Infatti, sommando le probabilità che i clienti richiedano uno dei tre servizi, si ottiene \(\displaystyle 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1 \). Pensate che possa andare? Per quanto riguarda il valore atteso e la varianza, purtroppo non so da dove cominciare...
Please help!
Risposte
No, ti dovrebbe venire che il numero di clienti che richiede il servizio $A$ sia una variabile ancora di Poisson ma di parametro $\lambda \cdot p_A$ dove $p_A=\frac{1}{2}$ è la probabilità di richiesta del servizio $A$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo