Esercizio sulle trasformazioni di v.a.

[pasquale2016]

Mi aiutate con questo esercizio?

Determinare la pdf (funzione densità di probabilità) di $Z=Y/X$ nell'ipotesi che $X~Ex(lambda_x)$ e $Y ~ Ex(lambda_Y)$, indipendenti.

Svolgimento
La pdf di questa particolare trasformazione è la seguente:

$f_Z(z)=\int_(-oo)^(+oo) |y|f_(XY)(zy,y)dy$
da questa, pochè le v.a. $X$ ed $Y$ sono indipendenti ottengo:

$f_Z(z)=\int_(-oo)^(+oo) |y|f_(X)(zy)f_Y(y)dy$

Utlizzo ora la distribuzione (esponenziale) delle due v.a.

$f_Z(z)=\int_(-oo)^(+oo) |y|*[lambda_x*e^(-lambda_x x)]_(x=(zy))*[lambda_y*e^(-lambda_y y)]dy=$
$=\int_(-oo)^(+oo) |y|*[lambda_x*e^(-lambda_x zy)]*[lambda_y*e^(-lambda_y y)]dy=$
$=lambda_x lambda_y e^(z) * \int_(-oo)^(+oo) |y|*[e^(-lambda_x y)]*[e^(-lambda_y y)]dy=$
E' corretto fin qui? Come procedo?

[Lo_zio_Tom]

basta impostare

$P(Z<=z)=P(Y<=zX)=int_(0)^(+oo)lambdae^(-lambdax)dxint_(0)^(zx)mu e^(-muy)dy=...=[1-lambda/(lambda+muz)]I_([0;+oo))(z)$

...che è la CDF cercata. Per calcolare la densità basta che derivi il risultato rispetto a z.

ciao

per comodità di scrittura ho sostituito $lambda_(X)=lambda$ e $lambda_(y)=mu$

[pasquale2016]

Non bisogna tenere in considerazione il caso in cui $x<0$ e quindi si cambia il verso della disuguaglianza?
Io so che la CDF (che mi hai scritto sopra) si compone della somma di due pezzi, uno che è quello che hai riportato tu (e tiene conto di $x>0$) e un altro pezzo (che tiene conto di $x<0$)