Esercizio sulle successioni di Cauchy (in probabilità)

[retrocomputer]

Devo dimostrare che se una successione di variabili aleatorie $(X_n)$ è di Cauchy in probabilità, allora esiste una sottosuccessione $(X_{n_k})$ tale che
$P\{|X_{n_{k+1}}-X_{n_k}|>2^{-k}\}\leq 2^{-k}$ per ogni $k\geq 1$.

Lo so, è praticamente un esercizio di analisi 1

Comunque, diamo la definizione di successione di Cauchy in probabilità:

Definizione La successione $(X_n)$ si dice di Cauchy in probabilità se per ogni $\epsilon>0$ e per ogni $\delta>0$ esiste $\bar n$ tale che $P\{|X_n-X_m|>\epsilon\}\leq \delta$ per ogni $m,n>\bar n$.

Ecco la mia dimostrazione che, anche se eventualmente fosse giusta, non mi piace: la nascondo per vergogna

Comincio dal caso $k=1$: per $\epsilon=\delta=1/2$ esiste $\bar n_1$ tale che $P\{|X_n-X_m|>1/2\}\leq 1/2$ per ogni $m,n> \bar n_1$, e prendo $n_1$ un qualsiasi numero naturale maggiore di $\bar n_1$.
Per $k>1$, per $\epsilon=\delta=1/{2^k}$ esiste $\bar n_k$ (e lo posso prendere maggiore di $n_{k-1}$) tale che $P\{|X_n-X_m|>1/2\}\leq 1/{2^k}$ per ogni $m,n>\bar n_k$, e basta prendere $n_k=n>\bar n_k>n_{k-1}>\bar n_{k-1}$, così che $n_k$ soddisfi anche la relazione precedente $P\{|X_{n_{k}}-X_{n_{k-1}}|>1/2^{k-1}\}\leq 1/2^{k-1}$.

[fu^2]

Così a prima vista mi sembra corretta.
Nota che da questo lemma che hai mostrato segue che esiste una sottosuccessione che converge qc.

[retrocomputer]

Sì Anzi, per dimostrare quello ne ho usata un'altra simile (con la $X$ al posto di $X_{n_k}$, perché in quel caso la variabile limite la conosco già), mentre questa l'ho usata per provare che le successioni di Cauchy in probabilità convergono in probabilità, cioè la completezza dello spazio delle variabili aleatorie reali munito della convergenza in probabilità.