Esercizio sulle code memoryless
Ciao a tutti! Vi chiedo per favore di aiutarmi con la risoluzione del seguente problema.
Una clinica di dentisti apre quando t=0. I clienti arrivano secondo un processo di Poisson con parametro $\lambda$. Ogni trattamento dura un tempo aleatorio $y$. Trovare la probabilità P che il secondo cliente arrivato non debba aspettare e calcolare il tempo medio $m_w$ del suo tempo di attesa per i seguenti casi:
a) $y=c=$ costante
b) $y$ è distribuita esponenzialmente con parametro $\mu = \frac{1}{c}$
I primi punti di calcolo della probabilità di non dover aspettare sono riuscito a calcolarli ( a) $e^{-\lambda c}$ b) $\frac{\mu}{\mu + \lambda}$ )
I guai arrivano per il tempo medio di attesa, cioè per il valore atteso che diventa complicato da calcolare dato che è condizionato.
Non riesco proprio a capire come fissare i vari limiti di integrazione e calcolare le probabilità condizionate. Mi vengono troppi dubbi, qualcuno riesce ad aiutarmi per favore?
Soluzione (potrebbe anche essere sbagliata, non è sicuro, il libro ha molti errori):
a) $m_w = c-\frac{1}{\lambda} +\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda c}$
b) $m_w = \frac{\lambda c^2}{1+\lambda c}$
Una clinica di dentisti apre quando t=0. I clienti arrivano secondo un processo di Poisson con parametro $\lambda$. Ogni trattamento dura un tempo aleatorio $y$. Trovare la probabilità P che il secondo cliente arrivato non debba aspettare e calcolare il tempo medio $m_w$ del suo tempo di attesa per i seguenti casi:
a) $y=c=$ costante
b) $y$ è distribuita esponenzialmente con parametro $\mu = \frac{1}{c}$
I primi punti di calcolo della probabilità di non dover aspettare sono riuscito a calcolarli ( a) $e^{-\lambda c}$ b) $\frac{\mu}{\mu + \lambda}$ )
I guai arrivano per il tempo medio di attesa, cioè per il valore atteso che diventa complicato da calcolare dato che è condizionato.
Non riesco proprio a capire come fissare i vari limiti di integrazione e calcolare le probabilità condizionate. Mi vengono troppi dubbi, qualcuno riesce ad aiutarmi per favore?
Soluzione (potrebbe anche essere sbagliata, non è sicuro, il libro ha molti errori):
a) $m_w = c-\frac{1}{\lambda} +\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda c}$
b) $m_w = \frac{\lambda c^2}{1+\lambda c}$
Risposte
Grazie mille tommik, quel thread è molto didattico e mi ha aiutato... allora ne approfitto per correggere un errore che ho fatto prima:
b) probabilità di non aspettare non è più 0 (ora correggo anche nell'originale) ma : $\frac{\mu}{\mu + \lambda}$
sono riuscito a risolvere anche il resto dell'esercizio e le soluzioni sono giuste
b) probabilità di non aspettare non è più 0 (ora correggo anche nell'originale) ma : $\frac{\mu}{\mu + \lambda}$
sono riuscito a risolvere anche il resto dell'esercizio e le soluzioni sono giuste
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