Esercizio sulla trasformazione di una variabile aleatoria.

[Adele89]

Salve, avrei bisogno di aiuto con il seguente esercizio:

Un numero aleatorio X ha la seguente distribuzione :

f(x)=k se -3-1 v 13 e 0 altrove


Trovare la funzione di densità di probabilità del numero aleatorio Y=|X|.

Potreste aiutarmi a svolgerlo? Ho provato a impostare l'esercizio calcando l'inversa della funzione (che ha due valori in questo caso) e ho moltiplicato la derivata di ogni inversa per la densità della x avente come input l'inversa della funzione.
Dopo ciò andrebbero sommate le due densità calcolate.
Tuttavia non mi trovo con la soluzione dell'esercizio che rendo nota qui :

fy(y)=1/2 se 13 e 0 altrove

Ora non so se sto sbagliando l'approccio nello svolgimento e soprattutto non capisco in che modo l'intervallo dei valori che può assumere la y si riduce a [1,3] .
Chiedo scusa se non ho scritto la traccia in modo più ordinato ma non ancora so usare gli strumenti che mettete a disposizione sul forum (dato che è la prima volta che posto qualcosa qui) e non ho molto tempo per imparare perchè ho l' esame tra pochi giorni.

[Lo_zio_Tom]

L'esercizio è molto semplice e qui sul forum ci sono centinaia di esercizi del tutto simili.. posta per bene tutti i passaggi che vediamo dove sbagli...

Ovviamente se non hai tempo... come non detto, in bocca al lupo per l'esame



Ciao

[Adele89]

Allora prima di tutto ottengo le due inverse :
f'(x)=y e f''(x)=-y che assumono valori in [1,3] e [-1,-3]
Dato che sono due (le inverse) ,dobbiamo calcolare le due densità (una relativa alla prima inversa e una per la seconda) ela densità della Y sarà uguale alla somma delle due densità calcolate(giusto?).

La prima densità sarà data da d/dy(y)*[fx(y) ] che assume valori in [1,3] e [-1,-3].
A questo punto per trovare k dovrei svolgere l'integrale su tutti i valori che può assumere la y e porre la condizione che valga 1(condizione di normalizzazione della densità di probabilità).
Per trovare la seconda densità si procede in modo analogo.
Ora non so se sto facendo bene e se ha senso andare avanti dato che non capisco perchè io mi trovo che la y può assumere valori in [1,3] e [-1,-3] mentre la soluzione mi dà solo l'intervallo [1,3].
Se considero solo l'intervallo [1,3] ,calcolando l'integrale di k dx tra 1 e 3 mi trovo con la soluzione che mi da il libro.

Grazie per esserti messo a disposizione

[Lo_zio_Tom]

prima di tutto devi calcolare la densità di X che, se fai un disegno, vedi subito che è formata da due rettangoli...quindi $f(x)=1/4 AAx$ da cui anche

$F_X(x)-={{: ( 0 , ;x<-3 ),( (x+3)/4 , ;-3<=x<-1 ),( 1/2 , ;-1<=x<1 ),( (x+1)/4 , ;-1<=x<3 ),( 1 , x>=3 ) :}$

ora fai il grafico della funzione di trasformazione $Y=|X|$ e vedi subito che il dominio di Y coincide con l'immagine di X e quindi $y in [1;3]$






a questo punto, è sufficiente calcolare la $F_Y$ in funzione della $F_X$ ed hai finito

Dopo aver calcolato la CDF di X e fatto dei semplici ragionamenti sul grafico della funzione di trasformazione ottieni che

$F_Y(y)=P(Y<=y)=P(1
da cui derivando ottieni

$f_Y(y)=1/2 I_((1;3))(y)$

conforme al risultato che ti aspettavi

ciao

[Adele89]

Dopo aver visto il disegno del grafico mi è stato tutto chiaro, grazie..sei stato di grande aiuto!

[[e-mail]]

Come scritto:
a di tutto devi calcolare la densità di X che, se fai un disegno, vedi subito che è formata da due rettangoli...quindi f(x)=1/4∀x
La transformizione muove tutti gli negatvi –3
f(x)=1/2 1

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