Esercizio sulla statistica
Ciao a tutti, sono nuovo del forum (scusate eventuali errori 
) potreste aiutarmi con il seguente esercizio?
Un ospedale sta conducendo un’indagine per scoprire la percentuale di portatori asintomatici di epatite C in una certa regione. Nominalmente il test fornisce il valore 10 per i pazienti sani e 18 per quelli affetti dal virus, ma a causa di fluttuazioni aleatorie il risultato è in realtà una variabile aleatoria Laplace di parametro $lambda=1$ centrata intorno a 10 per i pazienti sani e intorno a 18 per gli altri. Di conseguenza, si considera positivo il test (paziente malato) quando il risultato supera 14.
Sapendo che vengono esaminate 1000 persone alla settimana e che l’un per cento di queste è portatore del virus, quanti pazienti alla settimana saranno trovati positivi al test?
Io ho ragionato nel seguente modo, indicando con $R$ il risultato del test e con S i pazienti sani.
$R ~ Ex(lambda)$ con $lambda=1$
Devo calcolare $P(X>14)=\int_(14)^(+oo) f_X(x)dx$
dove
$f_(X)(x)=P(S)f_(X|S)(x|s)+P(barS)f_(X|barS)(x|s)$
$P(S)=0.99$
$P(barS)=0.01$
Di conseguenza, risulta:
$P(X>14)=\int_(14)^(+oo) f_X(x)dx=$
$=P(S)* \int_(14)^(+oo) f_(X|S)(x|s)dx+P(barS)* \int_(14)^(+oo) f_(X|barS)(x|s)dx$
Funzione densità di probabilità di una Laplaciana centrata intorno a $mu$
$f_(X)(x)=(lambda/2)e^(-lambda|x-mu|)$
Sulla base di quanto detto, calcolo le due funzioni di densità congiunte
$\int_(14)^(+oo)f_(X|S)(x|s)dx=\int_(14)^(+oo) 1/2e^(-|x-10|)dx-=\int_(14)^(+oo) 1/2e^(-(x-10))dx=$
$=1/2e^(10) \int_(14)^(+oo) 1/2e^(-x)dx=(1/2)e^(-4)=~=0.009$
In che modo calcolo
$\int_(14)^(+oo)f_(X|barS)(x|s)dx$
?
Grazie
) potreste aiutarmi con il seguente esercizio?Un ospedale sta conducendo un’indagine per scoprire la percentuale di portatori asintomatici di epatite C in una certa regione. Nominalmente il test fornisce il valore 10 per i pazienti sani e 18 per quelli affetti dal virus, ma a causa di fluttuazioni aleatorie il risultato è in realtà una variabile aleatoria Laplace di parametro $lambda=1$ centrata intorno a 10 per i pazienti sani e intorno a 18 per gli altri. Di conseguenza, si considera positivo il test (paziente malato) quando il risultato supera 14.
Sapendo che vengono esaminate 1000 persone alla settimana e che l’un per cento di queste è portatore del virus, quanti pazienti alla settimana saranno trovati positivi al test?
Io ho ragionato nel seguente modo, indicando con $R$ il risultato del test e con S i pazienti sani.
$R ~ Ex(lambda)$ con $lambda=1$
Devo calcolare $P(X>14)=\int_(14)^(+oo) f_X(x)dx$
dove
$f_(X)(x)=P(S)f_(X|S)(x|s)+P(barS)f_(X|barS)(x|s)$
$P(S)=0.99$
$P(barS)=0.01$
Di conseguenza, risulta:
$P(X>14)=\int_(14)^(+oo) f_X(x)dx=$
$=P(S)* \int_(14)^(+oo) f_(X|S)(x|s)dx+P(barS)* \int_(14)^(+oo) f_(X|barS)(x|s)dx$
Funzione densità di probabilità di una Laplaciana centrata intorno a $mu$
$f_(X)(x)=(lambda/2)e^(-lambda|x-mu|)$
Sulla base di quanto detto, calcolo le due funzioni di densità congiunte
$\int_(14)^(+oo)f_(X|S)(x|s)dx=\int_(14)^(+oo) 1/2e^(-|x-10|)dx-=\int_(14)^(+oo) 1/2e^(-(x-10))dx=$
$=1/2e^(10) \int_(14)^(+oo) 1/2e^(-x)dx=(1/2)e^(-4)=~=0.009$
In che modo calcolo
$\int_(14)^(+oo)f_(X|barS)(x|s)dx$
?
Grazie
Risposte
"vinci93":
Di conseguenza, si considera positivo il test (paziente malato)
questa spero sia una tua congettura perché è assolutamente FALSO. Il test posito è il test positivo. Stop....anche perché tutta la risoluzione dell'esercizio ruota intorno a questo concetto....tu puoi avere un test positivo con paziente malato (vero positivo) oppure con paziente sano (falso positivo).
per il resto è abbastanza semplice.
Considera la seguente tabella a doppia entrata:
il tuo problema consiste nel calcolare $1000(A+B)$
dove
$A=P(HCV)\cdotP(T^+|HCV)=0.01 int_(14)^(+oo)1/2e^(-|x-18|)dx$
$B=P(bar(HCV))\cdotP(T^+|bar(HCV))=0.99 int_(14)^(+oo)1/2e^(-(x-10))dx$
quindi te l'ho già risolto....per favore non farmi fare i conti che sto lavorando
Ho riportato la traccia dell'esercizio che il prof. ci ha proposto facendo copia e incolla, aggiungendo poi la mia "risoluzione". Se c'è qualcosa che può sembrare strano, non ne ho colpe :/ (forse è stato fatto per semplificare l'esercizio 
)
)
è un'imprecisione....ma il testo è chiaro...hai capito?
Spero anche tu abbia capito la differenza....il test positivo si può avere in entrambi i casi...sia col paziente sano che col paziente malato, come puoi vedere dalla tabella che ti ho proposto.
Per il resto ho semplicemente applicato il teorema che vedi nel mio avatar (Teorema di Bayes)
PS: HCV è l'acronimo dell'epatite C
Spero anche tu abbia capito la differenza....il test positivo si può avere in entrambi i casi...sia col paziente sano che col paziente malato, come puoi vedere dalla tabella che ti ho proposto.
Per il resto ho semplicemente applicato il teorema che vedi nel mio avatar (Teorema di Bayes)
PS: HCV è l'acronimo dell'epatite C
Chiarissimo. (credo che quella cosa nella traccia che ha generato "fraintendimento" sia una semplificazione data dal prof per non metterci in difficoltà)
Grazie mille.
Grazie mille.
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