Esercizio sulla pdf

[gmas20]

Salve, volevo qualche dritta sul seguente esercizio.

La v.a. $X$ ha la seguente pdf:

$f_X(x)= {((2x)/9,if 0
1.Verificare che la funzione assegnata soddisfa le proprieta' caratterizzanti la pdf
2. Calcolare la probabilità $P({(X<=2)}$
3. Calcolare la probabilità $P({(X<2)}$
4. Calcolare la probabilità $P({(-1
Svolgimento
1.Sul primo punto non ho avuto difficiltà.
2. Per risolvere il secondo punto ho osservato che $P({(X<=2)}$ non è altro che la CDF della v.a. $X$ dove la soglia $x=2$; duque ho potuto scrivere che
$P({(X<=2)} = F_X(2)$
Ricordo dalla teoria che la CDF è una primitiva della pdf, cioè
$F_X(x)=int_{-oo}^{x}f_X(alpha)dalpha$
che, applicata al mio caso, restituisce:

$F_X(2)=int_{-oo}^{2}f_X(alpha)dalpha$
E' corretto??

3. Per quanto riguarda il secondo punto (in cui c'è solo $<$, non $<=$) come procedo?

4. Per questo ultimo quesito, posso applicare quanto segue??

$ P({x_1
Grazie in anticipo

[Ale0010]

Ciao,
in generale $ F_X(t)=int_(-oo )^(t ) f_X(x) dx $ ma devi sempre fare attenzione al dominio dove è definita la densità (nel tuo caso $ x in (0,3) $ ).
Quindi la soluzione al punto 2 è:
$ mathbb(P)(X<=2)=int_(0)^(2) (2x)/9 dx $


Quando parli di v.a. assolutamente continue non c'è differenza tra $ mathbb(P)(X<=x) $ o $ mathbb(P)(X
Quindi è uguale al punto 2

Punto 4)
$ mathbb(P)(-1
Ciao!

[gmas20]

Mi trovo con perfettamente con il ragionamento sul secondo punto.

Per quanto riguarda il terzo punto, potresti farmi un esempio in cui le due probabilità in questione differiscono?

[Ale0010]

$ X~ "Binomiale"(5,1/4) $

$ mathbb(P)(X<2)= mathbb(P)(X=1)+mathbb(P)(X=0) $
mentre
$ mathbb(P)(X<=2)=mathbb(P)(X=2)+ mathbb(P)(X=1)+mathbb(P)(X=0) $

Questo è valido per tutte le distribuzioni discrete.

[Ale0010]

Se prendo la distribuzione della tua variabile aleatoria;
$ mathbb(P)(X=2)=0 $
Questo perché $ mathbb(P)(X=2)= int_(2)^(2) (2x)/9 dx $ che ovviamente fa 0.

Questo perché la misura dell'insieme $ A={2} $ è nulla nel tuo spazio di misura(Probabilità).

[gmas20]

Ok, chiarissimo.
PS. Ma la mia è una v.a. binomina?

[Ale0010]

No. La tua è una v.a. ass. continua mentre la binomiale è discreta.
Se cerchi su internet variabili aleatorie, leggi un po' di materiale così ti sarà chiara la differenza.