Esercizio sulla normale
Ciao a tutti, mi viene proposto il seguente esercizio sulla distribuzione normale che, a mio parere, è mal posto (ma sicuramente mi sbaglio).
Ecco il testo:
Sia X una variabile casuale normale con media 10 e varianza 1, che modella il diametro di detriti che ruotano attorno a una stazione spaziale.
Sappiamo che questi detriti possono essere rilevati dalla strumentazione della stazione solo se il loro diametro è compreso 5 e 15, e che se il loro diametro è maggiore di 10 sono considerati potenzialmente pericolosi.
SI considerino ora 10 detriti consecutivi rilevati dalla strumentazione, dobbiamo calcolare la probabilità che esattamente due di essi siano pericolosi.
Il mio ragionamento è stato il seguente, ma mi sono arenato all'inizio:
1) inizialmente devo calcolare la probabilità che il detrito sia rilevato dalla stazione e solo dopo quella che esso sia pericoloso. Per calcolare tale probabilità che chiamero $P(D)$ credo si debba fare:
$P(D) = P (x<= 15) - P(X<=5)$.
Il problema è che standardizzando la variabile viene $Z=+- 5$, valore che non viene riportato da nessuna tavola.
Cosa sbaglio ?
Grazie
Ecco il testo:
Sia X una variabile casuale normale con media 10 e varianza 1, che modella il diametro di detriti che ruotano attorno a una stazione spaziale.
Sappiamo che questi detriti possono essere rilevati dalla strumentazione della stazione solo se il loro diametro è compreso 5 e 15, e che se il loro diametro è maggiore di 10 sono considerati potenzialmente pericolosi.
SI considerino ora 10 detriti consecutivi rilevati dalla strumentazione, dobbiamo calcolare la probabilità che esattamente due di essi siano pericolosi.
Il mio ragionamento è stato il seguente, ma mi sono arenato all'inizio:
1) inizialmente devo calcolare la probabilità che il detrito sia rilevato dalla stazione e solo dopo quella che esso sia pericoloso. Per calcolare tale probabilità che chiamero $P(D)$ credo si debba fare:
$P(D) = P (x<= 15) - P(X<=5)$.
Il problema è che standardizzando la variabile viene $Z=+- 5$, valore che non viene riportato da nessuna tavola.
Cosa sbaglio ?
Grazie
Risposte
Forse non devo calcolare la probabilità che venga rilevato in quanto il testo mi dice già di considerarne 10 rilevati ?
dal testo direi che l'ultima tua osservazione è corretta!
"Evisu86":
Il problema è che standardizzando la variabile viene $Z=+- 5$, valore che non viene riportato da nessuna tavola.
Grazie
Ciao, secondo me dovresti iniziare a calcolare la probabilità che un detrito sia pericoloso, dato che è stato rilevato dalla stazione (è una probabilità condizionata).
Per quanto riguarda le tavole della normale, è ovvio che non possono riportare tutti gli infiniti valori della variabile Z.
Tieni presente però che $\int_{-5}^{5}f_{Z}(z)dz\approx1$ (in prima approssimazione)
quindi, essendo la probabilità che il detrito sia difettoso pari a 0,5 (come è evidente guardando la disegno), la soluzione si puo' trovare semplicemente facendo una binomiale con $n=10, k=2, p=q=0,5$. E' corretto ?
"Evisu86":
quindi, essendo la probabilità che il detrito sia difettoso pari a 0,5 (come è evidente guardando la disegno), la soluzione si puo' trovare semplicemente facendo una binomiale con $n=10, k=2, p=q=0,5$. E' corretto ?
Si, con quella approssimazione si dovrebbe arrivare a questo risultato.
La tua osservazione (sul fatto di calcolare P(difettoso) dato che è stato rilevato dalla stazione) pero' mi ha fatto venire un dubbio. Infatti considerando come probabilità che sia difettoso 0,5 stiamo considerando anche i detriti non rilevati dalla stazione (i.e. quelli con diametro > 15) !
"Evisu86":
La tua osservazione (sul fatto di calcolare P(difettoso) dato che è stato rilevato dalla stazione) pero' mi ha fatto venire un dubbio. Infatti considerando come probabilità che sia difettoso 0,5 stiamo considerando anche i detriti non rilevati dalla stazione (i.e. quelli con diametro > 15) !
E' proprio per questo che userei nella binomiale la $p$ della suddetta probabilità condizionata (che comunque viene approssimativamente uguale a $1/2$
)
Quindi, ricapitolando:
Sia:
A = "Il detrito viene rilevato"
e B = "il detrito è difettoso"
Iniziamo calcolando
$P(A) = P(x<=15) - P(x<=5)$, le rispettive $f(Z)$ vengono $1$ e $0$ e quindi possiamo dire che approssimativamente tale probabilità è uguale ad $1$.
Dobbiamo ora calcolare $P(A|B)$.
Calcoliamo innanzitutto $P(AnnB) = P(x<=15) - P(x<=10) = 1 - 0,5 = 0,5$
Quindi $P(A|B) = 0,5/1 = 0,5$.
A questo punto applichiamo la binomiale è otteniamo che la probabilità di ottenere esattamente due successi è circa $0,04$.
Ti sembra corretto il ragionamento e lo svolgimento dal punto di vista logico ?
Grazie mille
Sia:
A = "Il detrito viene rilevato"
e B = "il detrito è difettoso"
Iniziamo calcolando
$P(A) = P(x<=15) - P(x<=5)$, le rispettive $f(Z)$ vengono $1$ e $0$ e quindi possiamo dire che approssimativamente tale probabilità è uguale ad $1$.
Dobbiamo ora calcolare $P(A|B)$.
Calcoliamo innanzitutto $P(AnnB) = P(x<=15) - P(x<=10) = 1 - 0,5 = 0,5$
Quindi $P(A|B) = 0,5/1 = 0,5$.
A questo punto applichiamo la binomiale è otteniamo che la probabilità di ottenere esattamente due successi è circa $0,04$.
Ti sembra corretto il ragionamento e lo svolgimento dal punto di vista logico ?
Grazie mille
Esatto, era proprio questo che intendevo.
Sono sicuro che volevi dire $P(B|A)$
Prego, ciao!
"Evisu86":
Dobbiamo ora calcolare $P(A|B)$
Sono sicuro che volevi dire $P(B|A)$
"Evisu86":
Grazie mille
Prego, ciao!
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