Esercizio sulla media
L'avaria di un sistema elettronica è spiegabile solo col guasto di 5 dei suoi 185 compoenti. Qual'è il numero medio di componenti che dobbiamo analizzare prima di individuare i 5 guasti?
Non ho problemi nell'applicare la definizione di media solo che non ho ben capito come calcolare la pmf; sulla soluzione dell'esercizio è cosi proposta:
$ ( ( 5 ),( 4 ) ) ( ( 180 ),( (k-1)-4 ) ) $
-----------
$( ( 185 ),( k-1 ) ) $
ovvero per ogni k questa formula esprime la probabilità che all'estrazione k-1 io ne abbia estratti 4 dei 5 difettosi totali.
e poi moltiplico questa formula per la probabilità che io estragga il 5° elemento difettoso all'estrazione k-esima: $ 1/[185 - (k-1)] $
sulla seconda parte della formula non ho problemi, quello su cui incotro problemi è la prima che vi ho scitto, dove non trovo un nesso tra numeratore e denominatore, ci ho provato ma niente!
Equivalentemente sempre sulla soluzione mi viene proposto: più semplicemente puoi immaginare tutti i componenti in fila; quelli guasti definiscono 6 sottoinsiemi costituiti mediamente da $ (185-5)/6 $ componenti non gusti. Il numero medio di tentativi da effettuare è 155, pari alla somma delle medie dei primi 5 sottoinsiemi, 150, più i 5 componenti guasti.
Anche qui mi manca un passaggio, perchè i 5 elementi guasti mi definiscono 6 sottoinsiemi? Non riesco proprio ad immaginarmelo, per me ne definiscono 5 in ogniuno dei quali c'è n'è 1 difettoso!!!
Grazie mille a tutti.
Non ho problemi nell'applicare la definizione di media solo che non ho ben capito come calcolare la pmf; sulla soluzione dell'esercizio è cosi proposta:
$ ( ( 5 ),( 4 ) ) ( ( 180 ),( (k-1)-4 ) ) $
-----------
$( ( 185 ),( k-1 ) ) $
ovvero per ogni k questa formula esprime la probabilità che all'estrazione k-1 io ne abbia estratti 4 dei 5 difettosi totali.
e poi moltiplico questa formula per la probabilità che io estragga il 5° elemento difettoso all'estrazione k-esima: $ 1/[185 - (k-1)] $
sulla seconda parte della formula non ho problemi, quello su cui incotro problemi è la prima che vi ho scitto, dove non trovo un nesso tra numeratore e denominatore, ci ho provato ma niente!
Equivalentemente sempre sulla soluzione mi viene proposto: più semplicemente puoi immaginare tutti i componenti in fila; quelli guasti definiscono 6 sottoinsiemi costituiti mediamente da $ (185-5)/6 $ componenti non gusti. Il numero medio di tentativi da effettuare è 155, pari alla somma delle medie dei primi 5 sottoinsiemi, 150, più i 5 componenti guasti.
Anche qui mi manca un passaggio, perchè i 5 elementi guasti mi definiscono 6 sottoinsiemi? Non riesco proprio ad immaginarmelo, per me ne definiscono 5 in ogniuno dei quali c'è n'è 1 difettoso!!!
Grazie mille a tutti.
Risposte
Bel problemino.
La prima parte della formula è la probabilità (ipergeometrica) che tra i primi $k-1$ componenti esaminati ce ne siano esattamente 4 difettosi.
Il denominatore sono i casi totali: tutti i modi di estrarre $k-1$ pezzi dai 185.
Il numeratore sono i casi favorevoli: [modi di estrarre 4 pezzi dai 5 difettosi] x [modi di estarre i rimanenti (k-1)-4 pezzi dai 185-5 non difettosi]
In verità mi sembra più semplice calcolare direttamente la probabilità di avere il quinto difettoso alla k-esima estrazione in questo modo:
\( \displaystyle P(k)=\frac{ {k-1 \choose 4} }{{185 \choose 5}} \) (arriveresti allo stesso risultato moltiplicando i due pezzi precedenti).
La media richiesta è \( \displaystyle \mu=\sum_{k=5}^{185}P(k) \cdot k=155 \)
Molto interessante è il secondo modo di procedere.
Indico con un * un pezzo difettoso e con un . un pezzo sano. Una possibile configurazione è la seguente:
..........*......*....*........*.........*....................
I 5 pezzi difettosi (i 5 asterischi) hanno suddiviso il totale dei 185 pezzi in 6 gruppi:
1) quelli alla sinistra dela primo pezzo difettoso;
2) quelli compresi tra il primo e il secondo pezzo difettoso;
3)...
4)...
5)...
6) quelli alla destra del quinto pezzo difettoso.
La prima parte della formula è la probabilità (ipergeometrica) che tra i primi $k-1$ componenti esaminati ce ne siano esattamente 4 difettosi.
Il denominatore sono i casi totali: tutti i modi di estrarre $k-1$ pezzi dai 185.
Il numeratore sono i casi favorevoli: [modi di estrarre 4 pezzi dai 5 difettosi] x [modi di estarre i rimanenti (k-1)-4 pezzi dai 185-5 non difettosi]
In verità mi sembra più semplice calcolare direttamente la probabilità di avere il quinto difettoso alla k-esima estrazione in questo modo:
\( \displaystyle P(k)=\frac{ {k-1 \choose 4} }{{185 \choose 5}} \) (arriveresti allo stesso risultato moltiplicando i due pezzi precedenti).
La media richiesta è \( \displaystyle \mu=\sum_{k=5}^{185}P(k) \cdot k=155 \)
Molto interessante è il secondo modo di procedere.
"Lumcreative":
perchè i 5 elementi guasti mi definiscono 6 sottoinsiemi?
Indico con un * un pezzo difettoso e con un . un pezzo sano. Una possibile configurazione è la seguente:
..........*......*....*........*.........*....................
I 5 pezzi difettosi (i 5 asterischi) hanno suddiviso il totale dei 185 pezzi in 6 gruppi:
1) quelli alla sinistra dela primo pezzo difettoso;
2) quelli compresi tra il primo e il secondo pezzo difettoso;
3)...
4)...
5)...
6) quelli alla destra del quinto pezzo difettoso.
Gentilissimo, grazie per esserti dedicato al mio problema, avevo pensato anche io di applicare la definizione classica di probabilità: casi favorevoli su casi possibili solo che non capivo quale doveva essere il numeratore ovvero i casi possibili, sul denominatore nessun problema ma sul numeratore perchè quel prodotto mi da i casi favorevoli!?
Sulla media anche ci troviamo, grazie!
Per quanto riguarda l'ultimo metodo anche io avevo ragionato nel tuo stesso modo ma non mi sono trovato in tre casi particolari (cerco sempre il pelo nell'uovo!):
....*.......*......*.......*.......*
*.....*.....*.......*......*.......
*.....*.....*.....*................*
Come hai perfettamente illustrato nella stragrande maggioranza dei casi l'insieme totale si divide in 6 sottoinsiemi ma se il pezzo difettoso è il primo o l'utlimo? o addirittura è sia il primo che l'ultimo? i sottoinsiemi diventano 5 se non addirittura 4 e quindi non regge più quel tipo di ragionamento!?
Grazie mille ancora per la disponibilità.
Sulla media anche ci troviamo, grazie!
Per quanto riguarda l'ultimo metodo anche io avevo ragionato nel tuo stesso modo ma non mi sono trovato in tre casi particolari (cerco sempre il pelo nell'uovo!):
....*.......*......*.......*.......*
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*.....*.....*.....*................*
Come hai perfettamente illustrato nella stragrande maggioranza dei casi l'insieme totale si divide in 6 sottoinsiemi ma se il pezzo difettoso è il primo o l'utlimo? o addirittura è sia il primo che l'ultimo? i sottoinsiemi diventano 5 se non addirittura 4 e quindi non regge più quel tipo di ragionamento!?
Grazie mille ancora per la disponibilità.
"Lumcreative":
sul numeratore perchè quel prodotto mi da i casi favorevoli!?
Ti ho risposto qui, rileggi questa frase con calma:
"cenzo":
Il numeratore sono i casi favorevoli: [modi di estrarre 4 pezzi dai 5 difettosi] x [modi di estarre i rimanenti (k-1)-4 pezzi dai 185-5 non difettosi]
I casi favorevoli sono i [modi di scegliere 4 difettosi estratti dai 5 difettosi] accopiati con i [modi di scegliere i restanti (k-1)-4 pezzi dai 180 pezzi non difettosi].
Dai uno sguardo su wiki alla distribuzione ipergeometrica: "The formula can be understood as follows:..."
"Lumcreative":
nella stragrande maggioranza dei casi l'insieme totale si divide in 6 sottoinsiemi ma se il pezzo difettoso è il primo o l'utlimo? o addirittura è sia il primo che l'ultimo? i sottoinsiemi diventano 5 se non addirittura 4 e quindi non regge più quel tipo di ragionamento!?
I sottoinsiemi sono sempre 6. In quei casi particolari il primo o l'ultimo o entrambi, sono vuoti, cioè contengono zero elementi.
Grazie mille, ora è tutto chiaro!
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