Esercizio sulla densità congiunta
Esercizio
$ f(x,y) = 6/7*(x^2 + (x*y)/2) , 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 2 $
Io mi son trovato le densità marginali f(x) e f(y)
e ora mi chiede di calcolare:
a) $ P(X>Y) $
b) $ P(Y >= 1/2 | X <= 1/2) $
$ f(x,y) = 6/7*(x^2 + (x*y)/2) , 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 2 $
Io mi son trovato le densità marginali f(x) e f(y)
e ora mi chiede di calcolare:
a) $ P(X>Y) $
b) $ P(Y >= 1/2 | X <= 1/2) $
Risposte
Ciao,
mostra i tuoi dubbi o dove non riesci a calcolare la prob. condizionata o la probabilità di a). ti si aiuterà di conseguenza da tali punti.
mostra i tuoi dubbi o dove non riesci a calcolare la prob. condizionata o la probabilità di a). ti si aiuterà di conseguenza da tali punti.
Per il punto a) ho pensato di usare questa formula:
$ P(X>Y) = 1 - P(X
Cosa ho sbagliato?
P.S: nel punto b) proprio non riesco proprio a capire da dove partire
$ P(X>Y) = 1 - P(X
Cosa ho sbagliato?
P.S: nel punto b) proprio non riesco proprio a capire da dove partire
a) è abbastanza un classico, la tua formula però non la riconosco, mi dici dove l'hai presa? Usi la funzione di sopravvivenza ok, ma l'integrale con all'interno cdf di x in y, non mi torna.
Comunque il modo "classico" è semplicemente notare che l'evento da calcolare è la sovrapposizione di due aree, in questo caso di $Y$ su $X$ (o meglio di due rette, una fissata, che formano un piano). In formule si calcola l'"area" del dominio $A$ in un doppio integrale.
Sia $A = {(x,y) \in \mathbb{R}^2\,\ x>y\ |\ a<=x<=b,\ c(x)<=y<=d(x)}$ allora
$P(X > Y) = P((X,Y) \in A) = \int \int_A f_{XY}(x,y)\ dydx$
lascio te capire quale siano i $c(x)$ e $d(x)$ (i limiti di esistenza), abbastanza semplice. Faccio notare che il tutto si potrebbe mettere anche in funzione di $y$. Per tua comodità a me risulta (salvo sviste): $15/56 \approx 0.268$
b) è il calcolo di un evento condizionato, penso sia palese
Un punto di partenza su cui ragionare è usare l'equivalenza:
$P(Y>=1/2|\ X<=1/2) = {P(Y>=1/2,X<=1/2)}/{P(X<=1/2)}$
faccio notare che ${Y>=1/2, X<=1/2}$ è un evento congiunto, quindi...
Comunque il modo "classico" è semplicemente notare che l'evento da calcolare è la sovrapposizione di due aree, in questo caso di $Y$ su $X$ (o meglio di due rette, una fissata, che formano un piano). In formule si calcola l'"area" del dominio $A$ in un doppio integrale.
Sia $A = {(x,y) \in \mathbb{R}^2\,\ x>y\ |\ a<=x<=b,\ c(x)<=y<=d(x)}$ allora
$P(X > Y) = P((X,Y) \in A) = \int \int_A f_{XY}(x,y)\ dydx$
lascio te capire quale siano i $c(x)$ e $d(x)$ (i limiti di esistenza), abbastanza semplice. Faccio notare che il tutto si potrebbe mettere anche in funzione di $y$. Per tua comodità a me risulta (salvo sviste): $15/56 \approx 0.268$
b) è il calcolo di un evento condizionato, penso sia palese
Un punto di partenza su cui ragionare è usare l'equivalenza:
$P(Y>=1/2|\ X<=1/2) = {P(Y>=1/2,X<=1/2)}/{P(X<=1/2)}$
faccio notare che ${Y>=1/2, X<=1/2}$ è un evento congiunto, quindi...
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