Esercizio sul valore atteso

[Intermat]

Ho un esempio sul libro che non riesco a capire per bene se pure sembra essere molto semplice.

Una nave attracca in un porto e 30 marinai scendono per ritornare solo la sera. Poichè al loro ritorno sono ubriachi si dispongono simultaneamente in maniera casuale nelle loro 30 cuccette.

Calcolare il valore atteso del numero dei marinai che dormirà nella propria cuccetta.

Riporto la soluzione presente...

"Poichè è richiesto solo il valore atteso non occorre considerare tutte le disposizioni di marinai in 30 cuccette, basta associare ad ogni marinaio la variabile indicatrice $ X_i $ che vale $ 1 $ se il marinaio è nella propria cuccetta e altrimenti $ 0 $.

La soluzione è il valore atteso di $\sum_{i=1}^30 X_i $ che per che per casualità ed indipendenza delle scelte vale: $ E[sum_{i=1}^30 X_i]= 30 * E(X)= 30/30 =1 $

Cioè indipendentemente dal numero di marinai il valore atteso cercato vale $1$"

Non ho capito bene perchè viene $ 1$. Cioè ho capito il perchè si usa la variabile indicatrice però non sono certo del perchè del prodotto $ 30 * E(X)$. Dalla teoria io so che:

$ E[Y]= E [g(x)]= sum_{k} g(x_k) * P{X=x_k} $

devo forse considerare:

$ Y = g(x_k) = \{ (1, text{se è al suo posto}) , (0, text{se è nel posto sbagliato}) :} $
$ P{X=x_k} = 1/30 $

oppure si fa diversamente?

Grazie in anticipo!

[Seneca1]

Carino come esempietto. In quel passaggio lì si è tenuti conto della additività del valore atteso. Quindi, per esteso
\[ E(X_1 + ... + X_{30} ) = E(X_1) + ... + E(X_{30}) \]
Dopodiché ci si accorge che l'evento $\{ X_i = 1 \} \text{ : il marinaio i-esimo azzecca la sua cuccetta}$ ha come indicatore proprio la v.a. $X_i$, e, per un'altra proprietà della speranza matematica, vale che (la speranza dell'indicatore di un evento è la probabilità dell'evento):
\[ E(X_i) = \text{Pr}(X_i = 1) = \frac{1}{30}\]

[Intermat]

Grazie Mille!