Esercizio sul valore atteso
Mi aiutate con questo esercizio x favore??
X e Y sono due variabili aleatorie s-indipendenti, calcolare il vaolore atteso del modulo r del raggio vettore r=radice x^2+y^2 .
Grazie mille!
X e Y sono due variabili aleatorie s-indipendenti, calcolare il vaolore atteso del modulo r del raggio vettore r=radice x^2+y^2 .
Grazie mille!
Risposte
Ciao,
mostra i tuoi dubbi o problemi, ti si aiuterà di conseguenza.
mostra i tuoi dubbi o problemi, ti si aiuterà di conseguenza.
In realtà non saprei proprio da dove cominciare..ho imparato a trovare il valore atteso a partire da una pdf metre qui non ce l'ho, ho pensato di ricavarmela ma come?
Poi ho pensato invece di calcolarla senza pdf...e quindi sfruttando l operatore speranza matematica e la linearità arrivado a questo punto:
E (r)= rad E (x^2)+ E (y^2)
Ma dalle informazioni che ho finirebbe qui l'esercizio e mi sembra troppo banale...potreste aiutarmi?
Poi ho pensato invece di calcolarla senza pdf...e quindi sfruttando l operatore speranza matematica e la linearità arrivado a questo punto:
E (r)= rad E (x^2)+ E (y^2)
Ma dalle informazioni che ho finirebbe qui l'esercizio e mi sembra troppo banale...potreste aiutarmi?
Ragazzi nessuno può aiutarmi con questo esercizio?!? Ho l esame lunedì e sicuramente me lo chiederanno...
"plusbuby":
X e Y sono due variabili aleatorie s-indipendenti, calcolare il vaolore atteso del modulo r del raggio vettore r=radice x^2+y^2 .
è questa la v.a. $\sqrt(X^2 + Y^2)$?
Esatto è quella!
"plusbuby":
In realtà non saprei proprio da dove cominciare..ho imparato a trovare il valore atteso a partire da una pdf metre qui non ce l'ho, ho pensato di ricavarmela ma come?
Poi ho pensato invece di calcolarla senza pdf...e quindi sfruttando l operatore speranza matematica e la linearità arrivado a questo punto:
E (r)= rad E (x^2)+ E (y^2)
Ma dalle informazioni che ho finirebbe qui l'esercizio e mi sembra troppo banale...potreste aiutarmi?
infatti mi sembra sbagliato.
vediamo...sia $Z = X^2 + Y^2$ allora $R = \sqrt(Z)$
utilizziamo la legge dello statistico inconsapevole:
\(\displaystyle E[g(Z)]=\int_{-\infty}^{+\infty} g(z)f_Z(z)\text{d}z \rightarrow E[R]\)
nel nostro caso, è più semplice prova a calcolare ora la legge di $Z$. Ovviamente generalizzandola e trovando così le delmitazioni corrette di $Z$ e $g(Z)$. Anche se quel "raggio vettore" mi fa pensare si stia parlando della legge sul cerchio uniforme.
Quindi la fz (z) la calcolo attraverso una trasformazione bidimenzione?? E come calcolo gli estremi di integrazione e la funzione g(z)?
Scusami x tutte queste domande ma proprio non riesco a farlo questo esercizio!
Scusami x tutte queste domande ma proprio non riesco a farlo questo esercizio!
"plusbuby":
Quindi la fz (z) la calcolo attraverso una trasformazione bidimenzione?? E come calcolo gli estremi di integrazione e la funzione g(z)?
Scusami x tutte queste domande ma proprio non riesco a farlo questo esercizio!
sto provando a fare qualche ipotesi, ma non mi sembra troppo complicata facendo i passaggi corretti.
Andiamo a pezzi.
- [*:riouytyy]$X$,$Y$ sono due v.a. reali con densità $f_X$ e $f_Y$, vogliamo trovare la legge di $X^2$ e $Y^2$.
utilizziamo il classico metodo per il calcolo di leggi, tramie l'inversa.
$\phi(x) = x^2$ e se $t>0$ allora $\phi^{-1}(]-oo,t]) = [-\sqrt(t),\sqrt(t)]$
$G_{X^2}(t) = P(X^2 <= t) = P(-\sqrt(t) <= X <= \sqrt(t)) = F_X(\sqrt(t)) - F(-sqrt(t))$ per $t>0$
$g_{X^2}(t) = G'_{X^2}(t) = 1/{2\sqrt(t)}(f_X(\sqrt(t)) + f_X(-\sqrt(t)))$ controlla se è vero integrando.
$g_{X^2}(t) = 0$ per $t <= 0$.
stesso procedimento per $Y^2$.
[/*:m:riouytyy]
[*:riouytyy]ora consideriamo l'indipendenza, possiamo utilizzare un classico risultato delle somme di v.a. indipendenti.
$T,W$ assolutamente continue indipendenti con densità $h_T$ e $h_W$. Sia $Z = T + W$
allora $h_Z(z) = int_{-oo}^{+oo} h_T(z-w)h_W(w)\text{d}w$
[/*:m:riouytyy]
[*:riouytyy]sostituendo con $Z = X^2 + Y^2$
$g_{X^2}(t) = h_T(z-w) = 1/{2\sqrt(z-w)}(f_X(\sqrt(k-w)) + f_X(-\sqrt(k-w)))$
$g_{Y^2}(t) = h_W(w) = 1/{2\sqrt(w)}(f_Y(\sqrt(w)) + f_Y(-\sqrt(w)))$
allora (se non sbaglio delimitazione dell'integrale):
$h_Z(z) = int_{0}^{+oo} 1/{2\sqrt(z-w)}(f_X(\sqrt(z-w)) + f_X(-\sqrt(z-w)))*1/{2\sqrt(w)}(f_Y(\sqrt(w)) + f_Y(-\sqrt(w))) \text{d}w$
con un po' di lavoro si può sicuramente semplificare.[/*:m:riouytyy][/list:u:riouytyy]
Quindi tornando alla mia proposta precedente, passando per la legge dello statistico inconsapevole:
$E[R] = E[sqrt(Z)] = int_0^{+oo} \sqrt(x^2+y^2)h_Z(z)\text{d}z$
con un po' di conti ed un integrale doppio, dovresti trovare un qualche risultato generale.
Ora mi pare che il procedimento sia plausibile, ma una qualche conferma esterna non sarebbe male, forse esiste un metodo più veloce.
Grazie mille x la tua disponibilità. ..
In realtà girando un pò sul web ho trovato un modo più semplice di calcolare $ f r (r) $ con $ r=sqrt(x^2+y^2) $ utilizando una variabile di comodo $ V=psi (x, y) $.Nel mio caso la variabile di comodo V l'ho considerata =X
Ho ricavato $ Y=sqrt(r^2-v^2) $ .A questo punto
$ f r v (r, v)= f x y [x (r, v), y (r, v)]|J|=f x y [v,sqrt(r^2-v^2) ]|J| $
$ f r (r) =int_(-oo )^(oo ) fxy (v,sqrt(r^2-v^2))|J| dv=int_(-oo )^(oo ) fx (v) fy (sqrt(r^2-v^2)) |J| dv $
essendo le variabili s-indipendenti.
In questo modo ho ricavato la pdf e integrando questa moltiplicata per r dovrei avere il valore atteso. Il mio unico dubbio restano gli estremi di integrazione!
In realtà girando un pò sul web ho trovato un modo più semplice di calcolare $ f r (r) $ con $ r=sqrt(x^2+y^2) $ utilizando una variabile di comodo $ V=psi (x, y) $.Nel mio caso la variabile di comodo V l'ho considerata =X
Ho ricavato $ Y=sqrt(r^2-v^2) $ .A questo punto
$ f r v (r, v)= f x y [x (r, v), y (r, v)]|J|=f x y [v,sqrt(r^2-v^2) ]|J| $
$ f r (r) =int_(-oo )^(oo ) fxy (v,sqrt(r^2-v^2))|J| dv=int_(-oo )^(oo ) fx (v) fy (sqrt(r^2-v^2)) |J| dv $
essendo le variabili s-indipendenti.
In questo modo ho ricavato la pdf e integrando questa moltiplicata per r dovrei avere il valore atteso. Il mio unico dubbio restano gli estremi di integrazione!
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