Esercizio sul test delle ipotesi
Dall’osservazione di un campione di soli $4$ elementi sono state tratte le seguenti osservazioni con media campionaria $bar(X)$ = $8,39$ e $S$ $=$ $2,65$ :
$6,42$ $–$ $6,68$ $–$ $8,29$ $–$ $12,17$
Fissando un livello di significatività del $95%$ è accettabile l’ipotesi che la popolazione da cui è estratto il campione abbia scarto tipo pari a $3,2$ ?
Mia soluzione : l'ho ritenuto un test delle ipotesi un po' strano dato che trovo contraria la formulazione delle ipotesi, di solito è il contrario mentre qui :
$H_o$ ${$ $sigma$ $=$ $3,2$ $}$
$H_1$ ${$ $sigma$ $!=$ $3,2$ $}$
In ogni caso, ho applicato la distribuzione del Chi-Quadrato con :
$K$ = $(n-1)$ $S^2$ / $sigma^2$ $=$ $2.057$ $<$ $k_{0,95,3}$ = $7,82$
Quindi , ragionando al contrario, posso dire di non poter rigettare $H_1$ e che quindi la popolazione ha $sigma$ $=$ $3,2$ $?$
E poi, è normale che il valore $bar(X)$ non mi serva?
$6,42$ $–$ $6,68$ $–$ $8,29$ $–$ $12,17$
Fissando un livello di significatività del $95%$ è accettabile l’ipotesi che la popolazione da cui è estratto il campione abbia scarto tipo pari a $3,2$ ?
Mia soluzione : l'ho ritenuto un test delle ipotesi un po' strano dato che trovo contraria la formulazione delle ipotesi, di solito è il contrario mentre qui :
$H_o$ ${$ $sigma$ $=$ $3,2$ $}$
$H_1$ ${$ $sigma$ $!=$ $3,2$ $}$
In ogni caso, ho applicato la distribuzione del Chi-Quadrato con :
$K$ = $(n-1)$ $S^2$ / $sigma^2$ $=$ $2.057$ $<$ $k_{0,95,3}$ = $7,82$
Quindi , ragionando al contrario, posso dire di non poter rigettare $H_1$ e che quindi la popolazione ha $sigma$ $=$ $3,2$ $?$
E poi, è normale che il valore $bar(X)$ non mi serva?
Risposte
a prima vista vedo diversi problemi nel testo
1) dall'osservazione di soli 4 elementi, senza avere informazioni sulla distribuzione della popolazione non si può fare nulla se non operare in modo non parametrico (ma sicuramente non è argomento per il tuo esame)
2) la distribuzione $(n-1)S^2/sigma^2~chi_((n-1))^2$ vale solo in un modello Gaussiano (ed il testo che hai postato non lo dice)
3) il livello di significatività è $alpha$ generalmente pari a 5% oppure 1%. significatività del 95% non ha senso
consiglio quindi, se il testo è esattamente quello, di contattare il docente per avere spiegazioni in merito a queste osservazioni. Molto probabilmente intende: estratti 4 valori da una distribuzione Normale di media e varianza non note....ed il livello di significatività del 5%.
In ogni caso, prima di risolverlo, gradirei un riscontro in merito.
1) dall'osservazione di soli 4 elementi, senza avere informazioni sulla distribuzione della popolazione non si può fare nulla se non operare in modo non parametrico (ma sicuramente non è argomento per il tuo esame)
2) la distribuzione $(n-1)S^2/sigma^2~chi_((n-1))^2$ vale solo in un modello Gaussiano (ed il testo che hai postato non lo dice)
3) il livello di significatività è $alpha$ generalmente pari a 5% oppure 1%. significatività del 95% non ha senso
consiglio quindi, se il testo è esattamente quello, di contattare il docente per avere spiegazioni in merito a queste osservazioni. Molto probabilmente intende: estratti 4 valori da una distribuzione Normale di media e varianza non note....ed il livello di significatività del 5%.
In ogni caso, prima di risolverlo, gradirei un riscontro in merito.
Si il testo è proprio così, al limite posso provare a risolverlo con una metodologia non parametrica? Se si potesse fare, potresti giusto darmi una strada da cui partire? Oppure meglio lasciar perdere e passare oltre?
Purtroppo il testo è preso da una serie di esercizi, non è un esercizio del prof vero e proprio, per risolverlo dovrei soltanto andare a ricevimento (che non è oggi).
I test non parametrici sono inseriti nel programma, purtroppo.
Purtroppo il testo è preso da una serie di esercizi, non è un esercizio del prof vero e proprio, per risolverlo dovrei soltanto andare a ricevimento (che non è oggi).
I test non parametrici sono inseriti nel programma, purtroppo.
Se ti capita un esercizio così, prima di tutto specifichi la seguente frase:
"Dato che n è piccolo, l'unico modo per risolverlo è ipotizzare una Normalità dei dati", dopodiché non ti resta che calcolare il solito intervallo di confidenza per $sigma^2$
$[((n-1)S^2)/b; ((n-1)S^2)/a]$
dove a e b sono i quantili della $chi_((n-1))^2$ a livello $alpha/2$ e $(1-alpha/2)$, rispettivamente ed accettare se il valore del tuo $sigma_(0)^2$ rientra in tale intervallo oppure rifiutare se cade all'esterno.
Nel caso in esame, ipotizzando una distribuzione normale, vedi che il valore di $sigma_(0)^2=10.24$ rientra in tale intervallo e quindi non puoi rifiutare.
tutto qui
"Dato che n è piccolo, l'unico modo per risolverlo è ipotizzare una Normalità dei dati", dopodiché non ti resta che calcolare il solito intervallo di confidenza per $sigma^2$
$[((n-1)S^2)/b; ((n-1)S^2)/a]$
dove a e b sono i quantili della $chi_((n-1))^2$ a livello $alpha/2$ e $(1-alpha/2)$, rispettivamente ed accettare se il valore del tuo $sigma_(0)^2$ rientra in tale intervallo oppure rifiutare se cade all'esterno.
Nel caso in esame, ipotizzando una distribuzione normale, vedi che il valore di $sigma_(0)^2=10.24$ rientra in tale intervallo e quindi non puoi rifiutare.
tutto qui
Chiaro come sempre e sempre gentile, ho postato un'altra cosa, se puoi dargli un'occhiata ti ringrazio.
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