Esercizio sul lancio dei dadi
Un'urna contiene 112 dadi di cui 56 sono regolari mentre gli altri sono stati manipolati in modo che, per ciascuno di essi, la probabilità di ottenere $ 1 $ sia $ 1/2 $ mentre ogni altro risultato si verifca con probabilità $ 1/10 $
a) Un dado viene estratto a caso e lanciato 2 volte. Qual è la probabilità di ottenere (in quest'ordine ) $ 2 $ e $ 3 $ ? Sapendo che i due lanci hanno dato $ 2 $ e $ 3 $ (in quest'ordine ) qual è la probabilità che si tratti di uno dei dadi truccati?
b) Un dado viene estratto a caso e lanciato 2 volte. Siano X e Y rispettivamente i risultati del primo e del secondo lancio. Stabilire se X e Y sono indipendenti...
a) Non ho proprio idee su come iniziare...
b)Io pensavo che fossero indipenenti, mentre le soluzioni dicono che sono dipendenti e non riesco proprio a capire perchè...
Mi potreste aiutare? Grazie mille in anticipo!
a) Un dado viene estratto a caso e lanciato 2 volte. Qual è la probabilità di ottenere (in quest'ordine ) $ 2 $ e $ 3 $ ? Sapendo che i due lanci hanno dato $ 2 $ e $ 3 $ (in quest'ordine ) qual è la probabilità che si tratti di uno dei dadi truccati?
b) Un dado viene estratto a caso e lanciato 2 volte. Siano X e Y rispettivamente i risultati del primo e del secondo lancio. Stabilire se X e Y sono indipendenti...
a) Non ho proprio idee su come iniziare...
b)Io pensavo che fossero indipenenti, mentre le soluzioni dicono che sono dipendenti e non riesco proprio a capire perchè...
Mi potreste aiutare? Grazie mille in anticipo!
Risposte
Allora...riguardo il punto a)
Ricapitolando: -se il dato è truccato la probabilità di ottenere 1 è 0.5, la probabilità invece di ottenere un altro risultato è 0.1
-se il dado non è truccato tutti i risultati hanno una probabilità di uscire di 1/6
La probabilità che venga estratto un dado truccato è di 56/112=0.5 che quindi è uguale a quella di pescare un dado non truccato.
Secondo me puoi ragionare in questi termini: se U="ottenere 2 e 3" e T="pescare un dado truccato", puoi usare il teorema delle probabilità totali, cioè la probabilità totale di ottenere 2 e 3 è
$P[U|T]P[T]+P[U|nT]P[nT]$ (nT="non T, pescare un dado non truccato")
Poi ti chiede di trovare P[T|U]. Sfruttando la prima formula di Bayes diventa $P[T|U]=(P[U|T]P[T])/(P)$ Qui poi sostituisci i dati ed è fatta.
Se c'è qualcosa di non chiaro o che ti sembra sbagliato di pure!
Ricapitolando: -se il dato è truccato la probabilità di ottenere 1 è 0.5, la probabilità invece di ottenere un altro risultato è 0.1
-se il dado non è truccato tutti i risultati hanno una probabilità di uscire di 1/6
La probabilità che venga estratto un dado truccato è di 56/112=0.5 che quindi è uguale a quella di pescare un dado non truccato.
Secondo me puoi ragionare in questi termini: se U="ottenere 2 e 3" e T="pescare un dado truccato", puoi usare il teorema delle probabilità totali, cioè la probabilità totale di ottenere 2 e 3 è
$P[U|T]P[T]+P[U|nT]P[nT]$ (nT="non T, pescare un dado non truccato")
Poi ti chiede di trovare P[T|U]. Sfruttando la prima formula di Bayes diventa $P[T|U]=(P[U|T]P[T])/(P)$ Qui poi sostituisci i dati ed è fatta.
Se c'è qualcosa di non chiaro o che ti sembra sbagliato di pure!
Come hai ragionato? Descrivi i tuoi tentativi.
per la parte (b) penso che la soluzione sia errata. Lo stesso dado viene lanciato due volte, quindi per me $X$ e $Y$ devono essere indipendenti. Lo puoi comunque verificare con la probabilità condizionata.
per la parte (b) penso che la soluzione sia errata. Lo stesso dado viene lanciato due volte, quindi per me $X$ e $Y$ devono essere indipendenti. Lo puoi comunque verificare con la probabilità condizionata.
@ ghiozzo: ho qualche difficoltà a calcolare la prima della 2 formule che hai scritto...ad esempio per quano riguarda il primo addendo, ti riporto i calcoli che ho fatto così mi dici dove sbaglio...
$ P[U|T]P[T]=1/10 xx 1/10(9/10)=9/1000 $... ho usato la variabile aleatoria geomentrica modificata...probabilmente mi sto complicando la vita da sola
cosa avrei dovuto fare?
@ Alxxx28 per il punto a non ho scritto i miei tentativi perchè non riuscivo proprio a capire come dovessi impostarlo...
per il punto b) ok, infatti mi sembrava strano che fossero dipendenti...
$ P[U|T]P[T]=1/10 xx 1/10(9/10)=9/1000 $... ho usato la variabile aleatoria geomentrica modificata...probabilmente mi sto complicando la vita da sola
cosa avrei dovuto fare?
@ Alxxx28 per il punto a non ho scritto i miei tentativi perchè non riuscivo proprio a capire come dovessi impostarlo...
per il punto b) ok, infatti mi sembrava strano che fossero dipendenti...
Usa la binomiale, visto che la probabilità non cambia nel secondo lancio del dado.
Quindi eleva alla seconda (sono due i lanci in cui vuoi far uscire i due numeri diversi da 1, che a questo punto potrebbero essere 2 e 3 ma anche qualsiasi altri numeri) la probabilità che non esca 1: $0.1^2=0.01$. Questa dovrebbe essere $P[U|T]$
$P[U|nT]$ sarà invece $(1/6)^2$
Quindi eleva alla seconda (sono due i lanci in cui vuoi far uscire i due numeri diversi da 1, che a questo punto potrebbero essere 2 e 3 ma anche qualsiasi altri numeri) la probabilità che non esca 1: $0.1^2=0.01$. Questa dovrebbe essere $P[U|T]$
$P[U|nT]$ sarà invece $(1/6)^2$
ho provato a ragionare su quello che hai scritto ma il risultato continua a venirmi sbagliato, dovrebbe essere $ 17/900=0,0188888 $ invece a me viene $ 0,01438$
Ho provato a fare i calcoli ma a me risulta corretto 
Allora:
Sapendo che
$P[T]=P[nT]=1/2$
$P[U|T]=(1/10)*(1/10)=1/100$
$P[U|nT]=(1/6)*(1/6)=1/36
Allora: $P[U|T]P[T]+P[U|nT]P[nT]=1/100*1/2+1/36*1/2=1/200+1/72=34/1800=17/900$
Allora:
Sapendo che
$P[T]=P[nT]=1/2$
$P[U|T]=(1/10)*(1/10)=1/100$
$P[U|nT]=(1/6)*(1/6)=1/36
Allora: $P[U|T]P[T]+P[U|nT]P[nT]=1/100*1/2+1/36*1/2=1/200+1/72=34/1800=17/900$
ok, mi ero dimenticata di moltiplicare per $ 1/2 $ 
Grazie mille per l'aiuto!
Grazie mille per l'aiuto!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo