Esercizio sui vettori aleatori

[matteom961]

Ciao a tutti..vorrei avere una mano su un esercizio che non sto capendo proprio
Il titolo è
Siano $X,Y,Z$ indipendenti e con distribuzione esponenziale di parametro 1. Calcolare la distribuzione di $Z < 2X + Y$
So che la distribuzione è $e^-(x+y+z)$ ma non so proprio proseguire con il resto
Potreste spiegarmi anche per favore un metodo generale per risolvere questi esercizi?
Grazie mille in anticipo

[Lo_zio_Tom]

"matteom96":

Calcolare la distribuzione di $Z < 2X + Y$

non lo capisci tu come nessun altro....non ha alcun senso, riguarda il testo per favore!

magari ti chiede calcolare la probabilità che $Z<2X+Y$

Quindi il mio consiglio è prima di tutto di riguardare o confermare il testo...poi ne riparliamo


saluti

[matteom961]

La probabilità era,scusami...

[Lo_zio_Tom]

mi vengono in mente diverse strade: la prima cosa che farei, mi calcolerei la distribuzione di $W=2X+Y$ e che calcoli davvero velocemente

e poi farei $P(Z

[strike](non ho provato a risolverlo, è solo la prima idea che mi è venuta)[/strike]

EDIT: è una cagata pazzesca[nota]citazione in memoria di U. Fantozzi[/nota]!!


quindi rinnovo il mio suggerimento a postare una tua bozza ma col suggerimento che ti ho dato dovresti risolvere anche in autonomia.



buon lavoro

[matteom961]

Il problema è che non ho idea..non so da dove partire.. per di più non so fare le formule qui

[matteom961]

Ho visto da un esercizio tipo ,e P(W) dovrebbe essere uguale a
$\int_{2x+y\leq t}^{-} {e^{-(x+y)}} dx dy = \int_{0}^{\infty} {e^{-x}} dx \int_{"max -2x+t,0"}^{\infty} {e^{-y}} dy $

Solo che non capisco proprio delle cose
Perchè il dominio va da 0 a infinito in un integrale e nell'altro max (-2x+t,0) ? Come si risolve questa roba? quali casi bisogna prendere in considerazione?
Vi prego aiutatemi..sto col cervello fumato per questo tipo di esercizi e tra poco ho l'esame...
Da premettere che non me la cavo benissimo con gli integrali

[Lo_zio_Tom]

Senza stare a cercare ipotetici esercizi simili (che poi magari simili non sono), la densità di $W=2X+Y$ la puoi calcolare:

Metodo 1) con la convoluzione ( e quindi con la formula bella e pronta, una volta che sai come si distribuisce 2X)

Metodo 2) calcolando la Funzione di ripartizione

$F_W(w)=P(W
dopodiché calcoli $f_W$ derivando F

Metodo 3) metodo della variabile ausiliaria (jacobiano)

Quindi direi che hai un'ampia scelta.

A questo punto ti basta calcolare $P(Z
Tutti gli integrali coinvolti nei calcoli sono integrali di esponenziali e quindi risolvibili senza fare alcun calcolo.

********************************
Ecco comunque la soluzione
*********************************

$f_X=e^(-x) I_((0;+oo))(x)$

$f_Y=e^(-y) I_((0;+oo))(y)$

$f_Z=e^(-z) I_((0;+oo))(z)$

dobbiamo calcolare $P{Z<2X+Y}=P{Z
iniziamo a calcolare la distribuzione di W

$F_W(w)=int_(0)^(w/2)e^(-x)dxint_(0)^(w-2x)e^(-y)dy=...=1-2e^(-w/2)+e^(-w)$

Calcoliamo ora la densità di W

$f_W(w)=d/(dw)F_W =[e^(-w/2)-e^(-w)]I_((0;+oo))(w)$

Ora, dato che anche $Z$ e $W$ sono indipendenti, calcoliamo

$P{Z

spero che sia tutto chiaro

ciao

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