Esercizio su varianza e covarianza

[Cianf1]

Salve a tutti
L'esercizio in questione non dovrebbe (almeno credo) essere molto difficili:
Ho due variabili aleatorie indipendenti, $ X~exp(1/9) $ e $ Y~Γ(5.4,3) $ ed ho che $ Z = X - Y $ e $ W = 1/2XY $
Mi viene chiesto di trovare $ Var(Z) $, $ Var(W) $ ed infine $ Cov(Z,W) $
Per la prima varianza nessun problema a quanto pare, dato che:
$ Var(Z) = Var(X-Y) = Var(X) + (-1)^2Var(Y) = 1/(1/9)^2 + α/λ^2 = 81,6 $
Ma già $ Var(W) = Var(1/2XY) $ ho problemi a calcolarla..
In più, anche per la covarianza
$ Cov(Z,W) = E(ZW) - E(Z)E(W) $ ma non saprei minimamente come calcolare $ E(ZW) $
Non ho assolutamente idea di come risolvere questi due passaggi, qualcuno può darmi una mano?
Grazie mille in anticipo

[Lo_zio_Tom]

devi ricondurti alle due variabili indipendenti

Es:

$Var[W]=Var[1/2 XY]=1/4Var[XY]$

e poi ricordarti che

$V[X]=mathbb{E}[X^2]-mathbb{E}^2[X]$

quindi

$Var[W]=1/4{mathbb{E}[X^2Y^2]-mathbb{E}^2[X]mathbb{E}^2[Y]}=1/4{mathbb{E}[X^2]mathbb{E}[Y^2]-mathbb{E}^2[X]mathbb{E}^2[Y]}$

...i momenti secondi delle due variabili li conosci....problema risolto (il resto è più o meno tutto sulla stessa falsariga)

Nota bene: quando hai a che fare con distribuzioni esponenziali / Gamma è opportuno specificare sempre la densità di probabilità perché tali leggi hanno diverse parametrizzazioni. Qui la parametrizzazione corretta l'ho desunta dalla tua bozza di soluzione..

[Cianf1]

Grazie mille, ho capito tutto
L'unico problema è che non ho una formula per il momento secondo dell'esponenziale, devo risolvermi necessariamente l'integrale?

[Lo_zio_Tom]

ma dai caXXo!!!!

$Var[X]=mathbb{E}[X^2]-mathbb{E}^2[X]$

ora, con uno sprazzo di lucidità algebrica, sposto $-mathbb{E}^2[X]$ al primo membro e subito trovo

$mathbb{E}[X^2]=Var[X]+mathbb{E}^2[X]$