Esercizio su variabili aleatorie di Poisson

[tranesend]

L'esercizio che sto per proporvi e nel quale non so proprio dove mettere mano è un esercizio teorico e è il seguente.
Siano $X_(1),.........,X_(n)$ variabili di Poisson di parametro $\lambda >0$ indipendenti.
a) Dato $k in NN$ calcolare $P(X_(1)=i|sum_{h=1}^N X_(h)=k), i=0,1,..$. Dare inoltre un'interpretazione modellistica del risultato.
a) Dato $k in NN$ calcolare $P(X_(1)=i, X_(2)=j|sum_{h=1}^N X_(h)=k), i,j=0,1,..$. Dare inoltre un'interpretazione modellistica del risultato.

Potete aiutarmi a risolvere anche solo il primo . Anche solo per vedere il metodo di risoluzione perchè io in questo caso non sodove mettere mano in quanto il professore esercizi di questo tipo li mette all'esame ma non li ha mai svolti in classe.

[walter891]

il teorema di Bayes non ti dice nulla?

[tranesend]

"walter89":il teorema di Bayes non ti dice nulla?

Si posso scrivere la formula così
$P(X_(1)=i|sum_{h=1}^N X_(h)=k) = (P(X_(1)=i nn sum_{h=1}^N X_(h)=k))/(P(sum_{h=1}^N X_(h)=k))=((P(sum_{h=1}^N X_(h)=k)|X_(1)=i)*(P(X_(1)=i)))/((P(sum_{h=1}^N X_(h)=k|X_(1)=i)*P(X_(1)=i))+P(sum_{h=1}^N X_(h)=k|X_(1)!=i)*P(X_(1)!=i)))$

Poi da qua non so come andare avanti cioè le $P(X_(1)=i)=((e^(-\lambda))* i^\lambda)/(i!)$ e $P(X_(1)!=i)=1-((e^(-\lambda))* i^\lambda)/(i!)$ ma le altre probabilità come me le risolvo?

[walter891]

io mi fermerei qua perchè il passaggio che hai fatto a denominatore ti complica le cose:
$P(X_(1)=i|sum_{h=1}^N X_(h)=k) =(P(sum_{h=1}^N X_(h)=k|X_(1)=i)*P(X_(1)=i))/(P(sum_{h=1}^N X_(h)=k))$
ora sapendo che $X_1=i$ possiamo dedurre che $sum_(h=2)^N X_h=k-i$ e riscrivere tutto come
$(P(sum_{h=2}^N X_(h)=k-i)*P(X_(1)=i))/(P(sum_{h=1}^N X_(h)=k))$

e a questo punto le probabilità richieste le conosciu tutte perchè devi solamente ricordarti che una somma di variabili poissoniane indipendenti è ancora una poissoniana che ha come parametro la somma dei rispettivi parametri

[tranesend]

Ah okok grazie mille. Ora sono riuscito a risolverlo.