Esercizio su v.a. Uniforme con trasformazione
Ciao a tutti, sto avendo qualche difficoltà con questo esercizio...
Ho una variabile aleatoria uniforme $ X~U(-1/2, 1/2) $ con una trasformazione $ Y=sgn(X) $
E poi ho che:
$ Y={-1, se, X∈[-1/2, 0[ $
$ Y={1, se, X∈[0, 1/2] $
Devo caratterizzare la Y.
Allora, io ho fatto l'integrale della pdf di X per il primo intervallo e mi viene così:
$ int_(-1/2)^(0) f_x(x) dx = int_(-1/2)^(0) 1/(b-a) dx =[x/(b-a)]_(-1/2)^0=-1/2 $
Da qui il mio problema, perchè mi viene un numero negativo e la probabilità non può essere negativo.
C'è qualcuno che mi può illuminare?
Ho una variabile aleatoria uniforme $ X~U(-1/2, 1/2) $ con una trasformazione $ Y=sgn(X) $
E poi ho che:
$ Y={-1, se, X∈[-1/2, 0[ $
$ Y={1, se, X∈[0, 1/2] $
Devo caratterizzare la Y.
Allora, io ho fatto l'integrale della pdf di X per il primo intervallo e mi viene così:
$ int_(-1/2)^(0) f_x(x) dx = int_(-1/2)^(0) 1/(b-a) dx =[x/(b-a)]_(-1/2)^0=-1/2 $
Da qui il mio problema, perchè mi viene un numero negativo e la probabilità non può essere negativo.
C'è qualcuno che mi può illuminare?
Risposte
la variabile Y è discreta, assume i valori $y in {-1;1}$ con probabilità 0.5 e zero altrove.
Per risolverlo non serve alcun integrale; la X è uniforme in $[-0.5;0.5]$ quindi la sua densità è un rettangolo di base 1 e altezza 1 quindi
$P(X>0)=P(X<0)=0.5$
quindi in definitiva
$P(Y=y)=0.5\cdot\mathbb{1}_{{-1;1}}(y)$
se proprio vuoi usare l'integrale, ma mi sembra davvero inutile avrai
$P(Y=1)=\int_0^{0.5} dx=0.5$
Nel tuo integrale hai
$P(Y=-1)=...=[x]_{-0.5}^0=0-(-0.5)=0.5$
Ho cancellato tutto il resto perché non si capiva più niente...per favore, MArkS5 cerca di fare attenzione le prossime volte onde non far perdere tempo alle persone.
Grazie
Per risolverlo non serve alcun integrale; la X è uniforme in $[-0.5;0.5]$ quindi la sua densità è un rettangolo di base 1 e altezza 1 quindi
$P(X>0)=P(X<0)=0.5$
quindi in definitiva
$P(Y=y)=0.5\cdot\mathbb{1}_{{-1;1}}(y)$
se proprio vuoi usare l'integrale, ma mi sembra davvero inutile avrai
$P(Y=1)=\int_0^{0.5} dx=0.5$
Nel tuo integrale hai
$P(Y=-1)=...=[x]_{-0.5}^0=0-(-0.5)=0.5$
Ho cancellato tutto il resto perché non si capiva più niente...per favore, MArkS5 cerca di fare attenzione le prossime volte onde non far perdere tempo alle persone.
Grazie
"tommik":
la variabile Y è discreta, assume i valori $y in {-1;1}$ con probabilità 0.5 e zero altrove.
Per risolverlo non serve alcun integrale; la X è uniforme in $[-0.5;0.5]$ quindi la sua densità è un rettangolo di base 1 e altezza 1 quindi
$P(X>0)=P(X<0)=0.5$
quindi in definitiva
$P(Y=y)=0.5\cdot\mathbb{1}_{{-1;1}}(y)$
se proprio vuoi usare l'integrale, ma mi sembra davvero inutile avrai
$P(Y=1)=\int_0^{0.5} dx=0.5$
Nel tuo integrale hai
$P(Y=-1)=...=[x]_{-0.5}^0=0-(-0.5)=0.5$
Ho cancellato tutto il resto perché non si capiva più niente...per favore, MArkS5 cerca di fare attenzione le prossime volte onde non far perdere tempo alle persone.
Grazie
Assolutamente, scusami ancora.
Quindi, volendo rimanere sull'integrale, quello che trovo (0.5) è la probabilità che X sia appartenente all'intervallo indicato e quindi che Y abbia quel valore, corretto?
"MarkS3":
Quindi, volendo rimanere sull'integrale, quello che trovo (0.5) è la probabilità che X sia appartenente all'intervallo indicato e quindi che Y abbia quel valore, corretto?
Sì. Ma calcolare l'area di un rettangolo 1x0,5 con un integrale sembra esagerato.
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