Esercizio su v.a Rayleigh

[pasquale2016]

Il livello dell'acqua in due recipienti, A e B, è descritto da variabili aleatorie di tipo Rayleigh rispettivamente con paramentro $sigma_(A)^2$ e $sigma_(B)^2$.
Si sceglie a caso uno dei due recipienti e si misura il livello dell'acqua $X$.
Determinare la CDF e la pdf di $X$

$P(A)=P(B)=1/2$
La CDF di A e di B è data rispettivamente da:

$F_(X_A)(x)=[1-e^(-(x^(2))/(2sigma_(A)))]u(x)$

$F_(X_B)(x)=[1-e^(-(x^(2))/(2sigma_(B)))]u(x)$

dove

$u(x)={(1,if x>=0),(-1,if x<0):}$

Per calcolare la $F_(X)(x)$ dovrei utilizzare la legge della probabilità totale con riferimento alle CDF?

PS. Chiedo anticipatamente scusa per la scrittura $u(x)$ ma non riuscivo a scriverlo utilizzando la scrittura comune.

[Lo_zio_Tom]

Sì, ed è anche molto semplice.

PS: attento che hai scritto le CDF in modo non corretto....magari è solo un refuso di stampa

*****

Per capire l'esercizio e le sue implicazioni potresti risolvere il seguente:

Abbiamo due recipienti X e Y con un livello di acqua distribuito come una uniforme tra $[0;1]$ litro e tra $[0;2]$ litri, rispettivamente.

Caso 1 ) scegliamo casualmente un recipiente e ne misuriamo il livello.

Caso 2 ) misuriamo entrambi i livelli e ne facciamo la media.

Calcolare la distribuzione del livello nei due casi


Caso 1)
Nel primo caso (che è come il tuo) ottieni che:

$F(z)=P(Z<=z)=1/2P(X<=z)+1/2P(Y<=z)$



e quindi a conti fatti ottieni

$F(z)-={{: ( 0 , ;z<0 ),( 3/4z , ;0<=z<1 ),(3/4+(z-1)/4 , 1<=z<2 ),( 1 , z>=2 ) :}$

Caso 2)
Qui occorre fare una trasformazione di variabile (che nel tuo esercizio diventa cosa infausta per i calcoli). Con le uniformi che ti ho proposto in questo esempio si ottiene (dovresti riuscirci abbastanza facilmente anche tu)

$F(z)-={{: ( 0 , ;z<0 ),( z^2 , ;0<=z<1/2 ),( z-1/4 , ;1/2<=z<1 ),( 1-(3-2z)^2/4 , ;1<=z<3/2 ),( 1 , ;z>=3/2 ) :}$

[gheto-]

La funzione di distribuzione cumulativa dovrebbe essere data dalla seguente?

$F_X(x)=P(X in A)F_X(x|X in A)+P(X in B)F_X(x|X in B)$