Esercizio su uno Z-test
Salve a tutti,
ero intento a risolvere il seguente esercizio:
"Il peso medio della popolazione americana adulta è di 78 Kg. Supponendo che i pesi degli americani siano distribuiti con una legge normale con varianza di 25 Kg, si calcoli l'intervallo, centrato intorno alla media, in cui, con una probabilità del 99,7%, sono distribuiti i pesi. Inoltre, preso a caso un americano adulto nella suddetta popolazione, determinare con quale probabilità questo avrà un peso compreso fra 70 Kg e 82 Kg."
Ho pensato di procedere in questo maniera:
considerata la statistica
$$Z=\frac{\bar{X}-\mu_o}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}},$$
dove $\bar{X}$ è la media campionaria, $\mu_0$ la media, $\sigma$ la deviazione standard ed $n$ la grandezza del campione (di cui non dispongo).
Poiché
$$\mathbb{P}\left(|{Z}|<\phi_{1-\frac{\alpha}{2}}\right)=\alpha,$$
dove $\alpha=3%$, ne ho dedotto l'intervallo centrato intorno alla media dove è distribuito il $99,7%$ dei pesi è dato da
$$|{Z}|<\phi_{1-\frac{\alpha}{2}} \Leftrightarrow \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\bar{X}-\phi_{1-\frac{\alpha}{2}}\le \mu_0\le\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\bar{X}+\phi_{1-\frac{\alpha}{2}}.$$
Chiedo innanzitutto se tale ragionamento è corretto. In caso affermativo, non mancherebbe un dato fondamentale per completare l'esercizio, ovvero la grandezza del campione?
Per la seconda parte dell'esercizio ho poi pensato di considerare la v.a. $X_i$ che rappresenta il peso di un individuo all'interno del campione, normalizzarla in maniera tale da operare con
$$Z_i=\frac{X_i - \mu_0}{\sigma},$$
determinare i valori corrispondenti di 70 e 82, ovvero $z_1$ e $z_2$, ed infine
$$\mathbb{P}\left(z_1\le Z \le z_2\right)=\mathbb{P}\left(Z\le z_2\right)-\mathbb{P}\left(Z\le z_1\right)=\phi(z_2)-\phi(z_1).$$
Tuttavia, per procedere in tal modo dovrei conoscere il valore esatto della media di cui non dispongo.
Vi sarei grato se mi indicaste i punti in cui la mia soluzione è fallace. Attendo i vostri suggerimenti e grazie anticipatamente.
ero intento a risolvere il seguente esercizio:
"Il peso medio della popolazione americana adulta è di 78 Kg. Supponendo che i pesi degli americani siano distribuiti con una legge normale con varianza di 25 Kg, si calcoli l'intervallo, centrato intorno alla media, in cui, con una probabilità del 99,7%, sono distribuiti i pesi. Inoltre, preso a caso un americano adulto nella suddetta popolazione, determinare con quale probabilità questo avrà un peso compreso fra 70 Kg e 82 Kg."
Ho pensato di procedere in questo maniera:
considerata la statistica
$$Z=\frac{\bar{X}-\mu_o}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}},$$
dove $\bar{X}$ è la media campionaria, $\mu_0$ la media, $\sigma$ la deviazione standard ed $n$ la grandezza del campione (di cui non dispongo).
Poiché
$$\mathbb{P}\left(|{Z}|<\phi_{1-\frac{\alpha}{2}}\right)=\alpha,$$
dove $\alpha=3%$, ne ho dedotto l'intervallo centrato intorno alla media dove è distribuito il $99,7%$ dei pesi è dato da
$$|{Z}|<\phi_{1-\frac{\alpha}{2}} \Leftrightarrow \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\bar{X}-\phi_{1-\frac{\alpha}{2}}\le \mu_0\le\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\bar{X}+\phi_{1-\frac{\alpha}{2}}.$$
Chiedo innanzitutto se tale ragionamento è corretto. In caso affermativo, non mancherebbe un dato fondamentale per completare l'esercizio, ovvero la grandezza del campione?
Per la seconda parte dell'esercizio ho poi pensato di considerare la v.a. $X_i$ che rappresenta il peso di un individuo all'interno del campione, normalizzarla in maniera tale da operare con
$$Z_i=\frac{X_i - \mu_0}{\sigma},$$
determinare i valori corrispondenti di 70 e 82, ovvero $z_1$ e $z_2$, ed infine
$$\mathbb{P}\left(z_1\le Z \le z_2\right)=\mathbb{P}\left(Z\le z_2\right)-\mathbb{P}\left(Z\le z_1\right)=\phi(z_2)-\phi(z_1).$$
Tuttavia, per procedere in tal modo dovrei conoscere il valore esatto della media di cui non dispongo.
Vi sarei grato se mi indicaste i punti in cui la mia soluzione è fallace. Attendo i vostri suggerimenti e grazie anticipatamente.
Risposte
"jakojako":
Salve a tutti,
ero intento a risolvere il seguente esercizio:
"Il peso medio della popolazione americana adulta è di 78 Kg. Supponendo che i pesi degli americani siano distribuiti con una legge normale con varianza di 25 Kg, si calcoli l'intervallo, centrato intorno alla media, in cui, con una probabilità del 99,7%, sono distribuiti i pesi. Inoltre, preso a caso un americano adulto nella suddetta popolazione, determinare con quale probabilità questo avrà un peso compreso fra 70 Kg e 82 Kg."
Hai semplicemente letto male la traccia, non devi fare alcun campionamento né stime perché è tutto noto.
Ti sta dicendo che la distribuzione dei pesi è nota ed è $N(78;25)$
quindi hai tutti i dati, non devi far altro che standardizzare e leggere il valore sulle tavole per risolvere entrambi i punti:
1) $Phi((X_("max")-78)/5)=0.9985 rarr X_("max")=92.84 rarr [63.16<=X<=92.84]$
2) $Phi((82-78)/5)-Phi((70-78)/5)=73.33%$
PS: se non è indiscreto, posso sapere che tipo di studi fai /hai fatto? (non per curiosità ma solo per calibrare il tipo di risposte da dare)
Quindi mi pare di capire che la seconda parte dell'esercizio che ho svolto, prendendo $\mu_0=78$ dovrebbe essere corretta, giusto?
E poi perdonami, cos'è quel valore 0.9985 che compare nella tua risposta?
E poi perdonami, cos'è quel valore 0.9985 che compare nella tua risposta?
Si non avevo nemmeno finito di leggere la tua soluzione, visto l'approccio errato iniziale. L'esercizio non ha nulla a che spartire con uno Z test.
Il secondo punto è corretto a patto di indicare le $Phi$ maiuscole....la $phi$ (minuscola) indica la densità, è un'altra faccenda
0.9985 è la probabilità che nella coda di destra rimanga lo 0.15% della distribuzione....a sinistra il valore è simmetrico
$0.15%+0.15%=0.3%$ come richiesto dal testo.
In sostanza nell'intervallo $[63.16;92.84]$ cade il $99.7%$ di tutta la distribuzione dei pesi.
Il secondo punto è corretto a patto di indicare le $Phi$ maiuscole....la $phi$ (minuscola) indica la densità, è un'altra faccenda
0.9985 è la probabilità che nella coda di destra rimanga lo 0.15% della distribuzione....a sinistra il valore è simmetrico
$0.15%+0.15%=0.3%$ come richiesto dal testo.
In sostanza nell'intervallo $[63.16;92.84]$ cade il $99.7%$ di tutta la distribuzione dei pesi.
Adesso è tutto chiaro. Avevo dato una lettura sbagliata al testo ed anche alla tua risposta inizialmente. Sono un po' arrugginito con questi argomenti, ma riesco a leggere perfettamente un linguaggio matematico formale. Grazie mille!
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