Esercizio su: Teorema di Bayes e Formula delle probabilità totali.
Buongiorno a tutti, vorrei chiedervi un parere su un semplice esercizio di probabilità. Il testo è il seguente:
Abbiamo tre sacchetti indistinguibili dall'esterno. Uno contiene 3 palline bianche ed 1 nera. Il secondo contiene 2 palline bianche ed una nera. Il terzo contiene 3 nere ed una bianca. Scegliamo con probabilità 1/3 uno dei tre sacchetti ed estraiamo una pallina che risulta nera. Dopo aver fatto ciò uniamo il contenuto di tale sacchetto agli altri due e mescoliamo per bene. Facciamo un'altra estrazione: qual è la probabilità di pescare una pallina nera?
Io ho pensato che alla fine qui non sia necessario applicare il teorema di Bayes o il teorema delle probabilità totali: una volta che ho pescato la prima pallina rimescolo tutto! Quando vado a calcolare la $P(N|A)$ dove l'evento A sta ad indicare "ho estratto una pallina nera"; non mi interessa da dove abbia estratto la prima nera ma solo quante palline nere mi rimangono.
Quindi direi in definitiva che la probabilità è di $5/11$.
Grazie a tutti.
Abbiamo tre sacchetti indistinguibili dall'esterno. Uno contiene 3 palline bianche ed 1 nera. Il secondo contiene 2 palline bianche ed una nera. Il terzo contiene 3 nere ed una bianca. Scegliamo con probabilità 1/3 uno dei tre sacchetti ed estraiamo una pallina che risulta nera. Dopo aver fatto ciò uniamo il contenuto di tale sacchetto agli altri due e mescoliamo per bene. Facciamo un'altra estrazione: qual è la probabilità di pescare una pallina nera?
Io ho pensato che alla fine qui non sia necessario applicare il teorema di Bayes o il teorema delle probabilità totali: una volta che ho pescato la prima pallina rimescolo tutto! Quando vado a calcolare la $P(N|A)$ dove l'evento A sta ad indicare "ho estratto una pallina nera"; non mi interessa da dove abbia estratto la prima nera ma solo quante palline nere mi rimangono.
Quindi direi in definitiva che la probabilità è di $5/11$.
Grazie a tutti.
Risposte
In totale nei tre sacchetti hai 11 palline: 5 nere e 6 bianche.
Peschi da un sacchetto a caso e trovi 1 pallina nera.
Poi mescoli il tutto.
Quel che non mi è chiaro, è la fine che fa la pallina nera che hai pescato: la rimetti insieme alle altre, o la tieni da parte?
Se la rimetti "dentro" la probabilità è $5/11$ se la tieni "fuori" è $4/10$
Peschi da un sacchetto a caso e trovi 1 pallina nera.
Poi mescoli il tutto.
Quel che non mi è chiaro, è la fine che fa la pallina nera che hai pescato: la rimetti insieme alle altre, o la tieni da parte?
Se la rimetti "dentro" la probabilità è $5/11$ se la tieni "fuori" è $4/10$
Chiedo scusa.... intendevo $4/10$. Ho contato una pallina nera in più e, di conseguenza, ho contato 1 pallina di più nelle totali!! (La palla rimane fuori)
Se posso permettermi avrei un'altra domanda (ancora non mi sono levato questo dubbio): se ho un'urna con 30 palline di cui 20 Nere e 10 Bianche, riverso il contenuto in 2 urne a caso mettendo 15 palline ciascuno. Voglio calcolare la probabilità che in ciascuna urna ce ne siano 10 Nere e 5 Bianche. Ho pensato di fare $((((20), (10))*((10), (5)))/2)/((((30),(15)))/2)$ con usuale significato della notazione. Crede che sia giusto??
Grazie della risposta
Se posso permettermi avrei un'altra domanda (ancora non mi sono levato questo dubbio): se ho un'urna con 30 palline di cui 20 Nere e 10 Bianche, riverso il contenuto in 2 urne a caso mettendo 15 palline ciascuno. Voglio calcolare la probabilità che in ciascuna urna ce ne siano 10 Nere e 5 Bianche. Ho pensato di fare $((((20), (10))*((10), (5)))/2)/((((30),(15)))/2)$ con usuale significato della notazione. Crede che sia giusto??
Grazie della risposta
Io (con le mie modeste conoscenze...)lo risolverei così:
$(20!)/(5!)*(15!)/(30!)*(15!)/(10!*5!)$
Comunque la soluzione da te proposta "collima" con quella che ti dato Tem pochi giorni fa........
P.S. Non darmi del Lei. Grazie.....
$(20!)/(5!)*(15!)/(30!)*(15!)/(10!*5!)$
Comunque la soluzione da te proposta "collima" con quella che ti dato Tem pochi giorni fa........
P.S. Non darmi del Lei. Grazie.....
Sisi, lo so. Il fatto è che volevo verificare che il mio ragionamento fosse corretto (volevo convincermene da solo insomma). Il risultato coincide quindi credo che sia ok.
I primi due fattori del prodotto cosa rappresentano?
Ok, niente "del lei"
I primi due fattori del prodotto cosa rappresentano?
Ok, niente "del lei"
Come ti ho detto, io ho conoscenze elementari.
Quella è una semplificazione........
Il mio conteggio reale è il seguente:
$20/30*19/29*18/28*17/27*16/26*15/25*14/24*13/23*12/22*11/21*10/20*9/19*8/18*7/17*6/16*(15!)/(10!*5!)$
Quella è una semplificazione........
Il mio conteggio reale è il seguente:
$20/30*19/29*18/28*17/27*16/26*15/25*14/24*13/23*12/22*11/21*10/20*9/19*8/18*7/17*6/16*(15!)/(10!*5!)$
Ok! Grazie dell'aiuto...
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