Esercizio su somma di variabili aleatorie normali al quadrato
Ciao a tutti, la domanda è:
Siano $X$, $Y$, $Z$ indipendenti e distribuite normalmente ($N(0, 1)$). Trovare la densità della variabile aleatoria $W = X^2 + Y^2 + Z^2$.
La risposta è
Per l'indipendenza di $X$, $Y$, $Z$, la densità del vettore $(X,Y,Z)$ è
$f(x,y,z)=1/((2pi)^(3/2))e^(-(x^2+y^2+z^2)/2)$
Allora, se $t>0$
$P(W<=t)=1/((2pi)^(3/2))int_(x^2+y^2+z^2<=t)e^(-(x^2+y^2+z^2)/2)dxdydz=(4pi)/((2pi)^(3/2))int_0^(sqrtt)r^2e^(-r^2/2)dr$.
La densità $g(t)$ si ottiene per derivazione
$g(t)=(2pi)/((2pi)^(3/2))sqrtte^(-t/2)=sqrt(t/(2pi))e^-(t/2)$
e coincide con la legge $Gamma(3/2,1/2)$.
Non ho capito perché studia il vettore aleatorio con le componenti di grado 1 e non 2.
Io avevo notato che il mio $W$ è una chi-quadro con 3 gradi di libertà, e quindi una $Gamma(3/2,1/2)$, avrei potuto calcolare subito la densità?
Grazie
Siano $X$, $Y$, $Z$ indipendenti e distribuite normalmente ($N(0, 1)$). Trovare la densità della variabile aleatoria $W = X^2 + Y^2 + Z^2$.
La risposta è
Per l'indipendenza di $X$, $Y$, $Z$, la densità del vettore $(X,Y,Z)$ è
$f(x,y,z)=1/((2pi)^(3/2))e^(-(x^2+y^2+z^2)/2)$
Allora, se $t>0$
$P(W<=t)=1/((2pi)^(3/2))int_(x^2+y^2+z^2<=t)e^(-(x^2+y^2+z^2)/2)dxdydz=(4pi)/((2pi)^(3/2))int_0^(sqrtt)r^2e^(-r^2/2)dr$.
La densità $g(t)$ si ottiene per derivazione
$g(t)=(2pi)/((2pi)^(3/2))sqrtte^(-t/2)=sqrt(t/(2pi))e^-(t/2)$
e coincide con la legge $Gamma(3/2,1/2)$.
Non ho capito perché studia il vettore aleatorio con le componenti di grado 1 e non 2.
Io avevo notato che il mio $W$ è una chi-quadro con 3 gradi di libertà, e quindi una $Gamma(3/2,1/2)$, avrei potuto calcolare subito la densità?
Grazie
Risposte
Il tuo metodo è corretto.
Dire che la densità è una $chi_((3))^2$ oppure una $Gamma(3/2;1/2)$ è assolutamente la stessa cosa.
io lo risolverei così:
1) dimostri che una normale standard al quadrato è una $chi_((1))^2$
2) applichi la proprietà riproduttiva per le chi-quadro indipendenti.
Il punto uno si dimostra facilissimamente con il metodo della funzione di ripartizione o con la comunissima formula di trasformazione di variabile
La soluzione proposta passa per un'altra strada ma il risultato è lo stesso.
...ma in questo caso è una strada inutile....è lo stesso approccio che usi nella trasformazione di variabile
ciao
Dire che la densità è una $chi_((3))^2$ oppure una $Gamma(3/2;1/2)$ è assolutamente la stessa cosa.
io lo risolverei così:
1) dimostri che una normale standard al quadrato è una $chi_((1))^2$
2) applichi la proprietà riproduttiva per le chi-quadro indipendenti.
Il punto uno si dimostra facilissimamente con il metodo della funzione di ripartizione o con la comunissima formula di trasformazione di variabile
La soluzione proposta passa per un'altra strada ma il risultato è lo stesso.
...ma in questo caso è una strada inutile....è lo stesso approccio che usi nella trasformazione di variabile
ciao
ciao tommik, grazie per la risposta.
per quanto riguarda il primo dubbio potresti aiutarmi?
non capisco la scelta di studiare il vettore $(X,Y,Z)$ quando $W=X^2+Y^2+Z^2$,
e poi non capisco perché dal vettore $(X,Y,Z)$ vuole tirare fuori la funzione di ripartizione di $W$...
per quanto riguarda il primo dubbio potresti aiutarmi?
non capisco la scelta di studiare il vettore $(X,Y,Z)$ quando $W=X^2+Y^2+Z^2$,
e poi non capisco perché dal vettore $(X,Y,Z)$ vuole tirare fuori la funzione di ripartizione di $W$...
è la normalissima trasformazione di variabile...la CDF della trasformazione è data dall'integrale della congiunta sull'evento desiderato...lo fai sempre anche tu quando calcolare la CDF o la PDF di una qualunque trasformazione di variabile.
Applichi sempre la stessa formula
$Z=g(X,Y)$
$F_(Z)(z)=intint_(g(X,Y)<=z)f_(X,Y)(x,y)dxdy$
o no?
pensaci e vedrai che è così!
auguri e buone feste
Applichi sempre la stessa formula
$Z=g(X,Y)$
$F_(Z)(z)=intint_(g(X,Y)<=z)f_(X,Y)(x,y)dxdy$
o no?
pensaci e vedrai che è così!
auguri e buone feste
ci sono, grazie tommik, chiarissimo come sempre, buone feste e tanti auguri anche a te!
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