Esercizio su probabilità quasi ovunque
Salve, sono alle prese con un esercizio delle dispense del mio prof di cui riporto integralmente il testo tra virgolette:
" Consideriamo lo spazio di probabilità costituito dall'intervallo unitario [0,1] con la $ sigma $ algebra dei Boreliani (ovvero generata da tutti gli intervalli aperti di [0,1] ) e come probabilità prendiamo semplicemente quella che associa ad ogni intervallo la sua lunghezza. Su questo spazio di probabilità consideriamo la successione di v.a. data dalle funzioni:
$ X_n(omega )=1_[[0,0.5-1/n]uu [0,0.5+1/n] $
Queste v.a convergono quasi ovunque alla funzione costante pari ad 1. Infatti la convergenza è realizzata per tutti i punti dell'intervallo, tranne che per $ omega $ =0.5, dove tutta la successione prende sempre zero. Ma la probabilità dell'insieme $ {0.5} $ è zero"
Il problema è che non riesco a capire come mai la successione sia identicamente uguale a zero per $ omega $ =0.5 dal momento che per qualunque valore di n il punto 0.5 è compreso nell'insieme che rende $ X_n(omega )$ unitaria. Qualcuno riuscirebbe a darmi una mano ?
" Consideriamo lo spazio di probabilità costituito dall'intervallo unitario [0,1] con la $ sigma $ algebra dei Boreliani (ovvero generata da tutti gli intervalli aperti di [0,1] ) e come probabilità prendiamo semplicemente quella che associa ad ogni intervallo la sua lunghezza. Su questo spazio di probabilità consideriamo la successione di v.a. data dalle funzioni:
$ X_n(omega )=1_[[0,0.5-1/n]uu [0,0.5+1/n] $
Queste v.a convergono quasi ovunque alla funzione costante pari ad 1. Infatti la convergenza è realizzata per tutti i punti dell'intervallo, tranne che per $ omega $ =0.5, dove tutta la successione prende sempre zero. Ma la probabilità dell'insieme $ {0.5} $ è zero"
Il problema è che non riesco a capire come mai la successione sia identicamente uguale a zero per $ omega $ =0.5 dal momento che per qualunque valore di n il punto 0.5 è compreso nell'insieme che rende $ X_n(omega )$ unitaria. Qualcuno riuscirebbe a darmi una mano ?
Risposte
Riprendendo il mio post:
Può essere che ci sia un refuso nel testo e che al posto di:
$ X_n(omega )=1_[[0,0.5-1/n]uu [0,0.5+1/n] $
ci dovrebbe essere:
$ X_n(omega )=1_[[0,0.5-1/n)uu (0.5+1/n,1] $ ?
Cosi torna tutto
Può essere che ci sia un refuso nel testo e che al posto di:
$ X_n(omega )=1_[[0,0.5-1/n]uu [0,0.5+1/n] $
ci dovrebbe essere:
$ X_n(omega )=1_[[0,0.5-1/n)uu (0.5+1/n,1] $ ?
Cosi torna tutto
Ciao Antex. Sicuramente è come dici tu. Ci deve essere un errore nella definizione di $X_n$ perché nn avrebbe neanche senso definirla in quel modo quando il secondo intervallo include il primo.
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