Esercizio su probabilità condizionata

[zardo1992]

Si considerino due urne. La prima contiene 2 palline bianche e 7 nere, mentre la seconda contiene 5 palline bianche e 6 nere. Lanciamo una moneta e se otteniamo testa estraiamo una pallina dalla prima, altrimenti una pallina dalla seconda urna. Qual è la probabilità che il lancio della moneta sia stato testa dato che la pallina estratta è bianca?

Io ho ragionato così:
La probabilità $P(A)$ che dalla prima urna esca una pallina bianca è $\frac{2}{9}$.
So di dover applicare la formula per la probabilità condizionata, quel "dato che" mi fa pensare ad applicare $P(B|A)$, dove con $B$ indico il lancio della moneta dà testa, e la pallina estratta è bianca, ma non so come applicarla. Qualcuno può darmi una mano?

Come si applica poi la formula di Bayes? E come distinguo eventi indipendenti da eventi dipendenti? Avrò letto tantissime volte la spiegazione dal libro e dalle slides ma ancora non ho capito
Grazie a chi mi risponderà

[shoxxx86]

Intanto l'evento certo è "è uscita la pallina bianca" e lo indichiamo con B, esce testa lo indichiamo con T, esce croce con C
P(T|B)=[P(B|T)*P(T)]/[P(B|T)*P(T)+P(B|C)*P(C)]

Queste probabilità le sai tutte infatti:
P(C)= 0.5
P(T)=0.5
P(B|T)= 2/9 (dato che so che è uscito testa la prob di estrarre una pallina bianca dalla prima urna non può essere che 2/9)
P(B|C)=5/11

Spero di essere stato chiaro

[superpippone]

Abbiamo le seguenti probabilità:
1) bianca dalla prima $2/18$

2) nera dalla prima $7/18$

3) bianca dalla seconda $5/22$

4) nera dalla seconda $6/22$

In totale:

a) che la pallina sia bianca $2/18+5/22=(22+45)/198=67/198$

b) che la pallina sia nera $7/18+6/22=(77+54)/198=131/198$

Per finire: sapendo che la pallina estratta è bianca, la probabilità che sia uscita testa è:

$(22/198)/(67/198)=22/198*198/67=22/67$