Esercizio su probabilità concentrata sui razionali

[retrocomputer]

Ciao, ho trovato questo esercizietto da risolvere:

Provare che la funzione di ripartizione $F$ della probabilità $P$, concentrata sui razionali (numerati come $\mathbb{Q}=\{q_1,q_2,...\}$) e tale che $p(q_n)=P(\{q_n\})=2^{-n}$, è strettamente crescente.

Io avrei risolto nel modo seguente (nascosto se qualcuno vuole provare):

bisogna provare che se $q_N>q_n$ allora $F(q_N)>F(q_n)$, cioè $F(q_N)-F(q_n)>0$.

E infatti

$F(q_N)-F(q_n)=P((-\infty,q_N])-P((-\infty,q_n])=P((q_n,q_N])\geq P(\{q_N\})=2^{-N}>0$

E' così facile o mi sfugge qualcosa?

[DajeForte]

Si più o meno mi sembra così diretto. Io avrei considerato i due punti x ed y reali distinti.Siccome c'è sempre un razionale compreso concludere come hai fatto te.

[retrocomputer]

Grazie DajeForte, mi sa che è più preciso fare come dici tu, visto che la funzione di ripartizione è definita su tutta la retta reale. Riscrivo la dimostrazione:

bisogna provare che se $x,y\in\mathbb{R}$ tali che $x>y$ allora $F(x)>F(y)$, cioè $F(x)-F(y)>0$.

E infatti

$F(x)-F(y)=P((-\infty,x])-P((-\infty,y])=P((y,x])\geq P(\{q_N\})=2^{-N}>0$

dove $q_N$ è un numero razionale compreso tra $x$ e $y$.