Esercizio su momenti del primo e secondo ordine
Ciao a tutti, mi potreste aiutare con il seguente esercizio??
Grazie in anticipo
Date due v.a. $X$ e $Y$ con pdf congiunta data da
$f_(X|Y)(x|y)=ye^(-xy)u(x)u(y)$
dove la funzione $u(*)$ denota in gradino unitario e sia $Y ~U(1,2)$:
1) Calcolare la media e la varianza della v.a. $X$
2) Calcolare il coefficiente di correlazione tra $X$ ed $Y$
PRIMO PUNTO
[Denoto con $E(*)-=mu(*)$ la media, per semplicità di scrittura]
Per il calcolo della media di $X$ utilizzo il teorema della media condizionata, cioè calcolo $E[X]=E_(Y)E[X|Y]$ visto che so che la distribuzione $X|Y~Ex(y)$. Da questo ottengo:
$E[X]=E_(Y)E[X|Y]=E_(Y)[1/y]=\int_(1)^(2) 1/y dy=ln(2)$
Per il calcolo del v.q.m. opero allo stesso modo ed ottengo:
$E[X^2]=1$
e di conseguenza la varianza sarà:
$sigma_(X)=var(X)~=0.52$
SECONDO PUNTO
Indicando con $rho$ il coefficiente di correlazione, ho quanto segue:
$rho_(XY)=(C_(XY))/(sigma_X sigma_Y)$
$C_(XY)=R_(XY)-mu_X mu_Y=E[XY]-E[X]E[Y]$
dove:
$E[Y]=3/2$
$E[X]=ln(2)$
$E[XY]=1$
$sigma_X=sqrt(var(X))=sqrt(0.52)~=0.71$
Come calcolo ora la varianza (e dunque la deviazione standard) di $Y$
Grazie in anticipo
Date due v.a. $X$ e $Y$ con pdf congiunta data da
$f_(X|Y)(x|y)=ye^(-xy)u(x)u(y)$
dove la funzione $u(*)$ denota in gradino unitario e sia $Y ~U(1,2)$:
1) Calcolare la media e la varianza della v.a. $X$
2) Calcolare il coefficiente di correlazione tra $X$ ed $Y$
PRIMO PUNTO
[Denoto con $E(*)-=mu(*)$ la media, per semplicità di scrittura]
Per il calcolo della media di $X$ utilizzo il teorema della media condizionata, cioè calcolo $E[X]=E_(Y)E[X|Y]$ visto che so che la distribuzione $X|Y~Ex(y)$. Da questo ottengo:
$E[X]=E_(Y)E[X|Y]=E_(Y)[1/y]=\int_(1)^(2) 1/y dy=ln(2)$
Per il calcolo del v.q.m. opero allo stesso modo ed ottengo:
$E[X^2]=1$
e di conseguenza la varianza sarà:
$sigma_(X)=var(X)~=0.52$
SECONDO PUNTO
Indicando con $rho$ il coefficiente di correlazione, ho quanto segue:
$rho_(XY)=(C_(XY))/(sigma_X sigma_Y)$
$C_(XY)=R_(XY)-mu_X mu_Y=E[XY]-E[X]E[Y]$
dove:
$E[Y]=3/2$
$E[X]=ln(2)$
$E[XY]=1$
$sigma_X=sqrt(var(X))=sqrt(0.52)~=0.71$
Come calcolo ora la varianza (e dunque la deviazione standard) di $Y$
Risposte
Ti dice che Y è una uniforme. ...come fai a non saper calcolarne la varianza.
Quando scrivi $ u (x) $ non significa nulla se non specifichi l'intervallo...magari per voi è ovvio ma per il resto del mondo no.
Si scrive ad esempio $ I_((0; oo))(x) $ per indicare la funzione gradino per $ x> 0$.
Questa è una notazione che comprendono tutti
Quando scrivi $ u (x) $ non significa nulla se non specifichi l'intervallo...magari per voi è ovvio ma per il resto del mondo no.
Si scrive ad esempio $ I_((0; oo))(x) $ per indicare la funzione gradino per $ x> 0$.
Questa è una notazione che comprendono tutti
Se $X ~ U(a,b)$ dovrebbe essere
$var(X)=sigma_(X)^(2)=(b-a)^2/12$
giusto?
In questo caso, si ha:
$var(Y)=1/12$
corretto??
PS. Chiedo scusa per la "dicitura" $u(*)$
$var(X)=sigma_(X)^(2)=(b-a)^2/12$
giusto?
In questo caso, si ha:
$var(Y)=1/12$
corretto??
PS. Chiedo scusa per la "dicitura" $u(*)$
Ok
$ E (x) $ non era affatto immediato, Bravo!
Ogni tanto ti perdi in un bicchiere d'acqua.
QUI ti ho generalizzato la somma di variabili dicotomiche; è molto importante e non si trova dovunque. ...hai capito?
$ E (x) $ non era affatto immediato, Bravo!
Ogni tanto ti perdi in un bicchiere d'acqua.
QUI ti ho generalizzato la somma di variabili dicotomiche; è molto importante e non si trova dovunque. ...hai capito?
Grazie.
In quanto all'esercizio di cui mi hai messo il link, alla fine l'ho risolto "in maniera tabellare" come scrivesti tempo fa tu; molto piu' semplice ed immediato
In quanto all'esercizio di cui mi hai messo il link, alla fine l'ho risolto "in maniera tabellare" come scrivesti tempo fa tu; molto piu' semplice ed immediato
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