Esercizio su media v.a. discreta

[MrMojoRisin891]

Salve, ho qualche dubbio sulla soluzione di questo esercizio:
"Sia $X$ una v.a. discreta con distribuzione $P(X=n)=c_n$, $c_n >=0$.
Sotto quali condizioni per $(c_n)$ $X$ ha media finita? Dare un esempio in cui una siffatta $X$ non ha media finita e uno in cui invece ce l'ha".

Soluzione:
"$X$ ha media finita se e solo se $\sum c_n Per avere esempi come richiesti basta prendere $c_n =k/n^2$ oppure $c_n=k/n^3$".

I miei dubbi sono:
1)Perché dice
"$X$ ha media finita se e solo se $\sum c_n "$X$ ha media finita se e solo se $\sum nc_n Ho pensato che la $n$ nella sommatoria non la scrive perché quello che influisce sulla convergenza è alla fine il carattere di $c_n$, è corretto?

2)Gli esempi dati non sono entrambi convergenti, essendo quelle serie armoniche generalizzate di esponente maggiore di 1?

Grazie

[bassi0902]

Hai perfettamente ragione secondo me.

il valore atteso di $X_n$ infatti é $\sum n c_n$, quindi é questa la somma che deve essere finita.

Inoltre come hai detto tu ponendo $c_n = k/n^2$ la serie $\sum n c_n$ risulterebbe $\sum k/n$ che diverge. Mi sa che la soluzione é sbagliata, non essendoci $n$ affianco al coefficiente. L'errore poi si propaga quando si parla del $c_n$ adatto.

[MrMojoRisin891]

Bene, infatti con la $n$ nella sommatoria gli esempi tornano. Dubbi sciolti, grazie!

[MrMojoRisin891]

Si, la prima domanda chiedeva quale condizione dovrebbe soddisfare $c_n$ perché $X$ risultasse una distribuzione di probabilità, ma l'ho omessa perché almeno li dubbi non ne avevo

[Lo_zio_Tom]

E quindi era anche evidente l'errore dato che non può essere $Sigmac_n

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[MrMojoRisin891]

Già, un altro indizio che doveva farmi pensare... bella considerazione!