Esercizio su media di variabile aleatoria gamma
Salve, non riesco a risolvere questo esercizio :
Sia \(\displaystyle X \sim \Gamma (\alpha, \lambda) \) con \(\displaystyle \lambda >2 \). Calcolare media e varianza di \(\displaystyle e^X \).
Applicando la definizione di media si ha che :
\(\displaystyle E(e^X)= \int_{-\infty}^{+\infty} e^x *f(x) dx\ \)
Dove con \(\displaystyle f(x) \) sto indicando la funzione di densità di \(\displaystyle X \). Il mio dubbio ora riguarda gli estremi di integrazione.Sono giusti ? Inoltre il fatto che \(\displaystyle \lambda \) sia maggiore di \(\displaystyle 2 \) cosa implica ?
Sia \(\displaystyle X \sim \Gamma (\alpha, \lambda) \) con \(\displaystyle \lambda >2 \). Calcolare media e varianza di \(\displaystyle e^X \).
Applicando la definizione di media si ha che :
\(\displaystyle E(e^X)= \int_{-\infty}^{+\infty} e^x *f(x) dx\ \)
Dove con \(\displaystyle f(x) \) sto indicando la funzione di densità di \(\displaystyle X \). Il mio dubbio ora riguarda gli estremi di integrazione.Sono giusti ? Inoltre il fatto che \(\displaystyle \lambda \) sia maggiore di \(\displaystyle 2 \) cosa implica ?
Risposte
Come spesso ho sottolineato con la gamma è opportuno scriverne anche la densità perché ne esistono di diverse parametrzzazioni
Dato che non l'hai specificato ne uso una io....se la tua è diversa correggi di conseguenza
$f(x)=lambda^alpha/(Gamma(alpha))x^(alpha-1)e^(-lambda x)$
La media richiesta è dunque
$mathbb{E}[e^x]=int_0^(oo)e^xlambda^alpha/(Gamma(alpha))x^(alpha-1)e^(-lambdax )dx=int_0^(oo)lambda^alpha/(Gamma(alpha))x^(alpha-1)e^(-(lambda-1)x )dx=$
$=lambda^alpha/(lambda-1)^alpha int_0^(oo)(lambda-1)^alpha/(Gamma(alpha))x^(alpha-1)e^(-(lambda-1)x )dx=(lambda/(lambda-1))^alpha$
Dato che ora l'integrale fa uno perché l'integranda è proprio una $"Gamma"(alpha,lambda-1)$
Per la varianza stessa cosa...calcoli il momento secondo ecc ecc
Dato che non l'hai specificato ne uso una io....se la tua è diversa correggi di conseguenza
$f(x)=lambda^alpha/(Gamma(alpha))x^(alpha-1)e^(-lambda x)$
La media richiesta è dunque
$mathbb{E}[e^x]=int_0^(oo)e^xlambda^alpha/(Gamma(alpha))x^(alpha-1)e^(-lambdax )dx=int_0^(oo)lambda^alpha/(Gamma(alpha))x^(alpha-1)e^(-(lambda-1)x )dx=$
$=lambda^alpha/(lambda-1)^alpha int_0^(oo)(lambda-1)^alpha/(Gamma(alpha))x^(alpha-1)e^(-(lambda-1)x )dx=(lambda/(lambda-1))^alpha$
Dato che ora l'integrale fa uno perché l'integranda è proprio una $"Gamma"(alpha,lambda-1)$
Per la varianza stessa cosa...calcoli il momento secondo ecc ecc
Scusami ho sbagliato a scrivere l'esercizio, \(\displaystyle \lambda \) è maggiore di \(\displaystyle 2 \) non di \(\displaystyle 0 \). In questo caso praticamente l'integrale andrebbe da 2 a più infinito giusto ?
Vuoi sapere perché ti ha messo $lambda>2$? Se guardi l'integrale che ho fatto vedi che, affinché la media esista, deve essere $lambda>1$ altrimenti l'integrale diverge...per la varianza idem, affinché l'integrale converga serve che $lambda>2$
Ciò si vede bene utilizzando la seguente
Soluzione alternativa
Mi piace di meno ma si può usare la funzione generatrice dei momenti che, per una gamma con la parametrizzazione che ho usato io, viene[nota]lo puoi vedere dal link che ti ho messo[/nota]
$mathbb{E}[e^(xt)]=(lambda/(lambda-t))^alpha$
ma la fgm esiste solo per $t
quindi tutto ok perché a noi per calcolare media e varianza ci serve $t=1$ e $t=2$ e per ipotesi sappiamo che $lambda>2$
a questo punto è immediato vedere che
$mathbb{E}[e^x]=(lambda/(lambda-1))^alpha$ come ho trovato anche in modo analitico nel mio precedente post
Il momento secondo sarà
$mathbb{E}[e^(2x)]=(lambda/(lambda-2))^alpha$
e quindi la varianza è immediata essendo, per definizione, la differenza fra il momento secondo ed il momento primo al quadrato
Ciò si vede bene utilizzando la seguente
Soluzione alternativa
Mi piace di meno ma si può usare la funzione generatrice dei momenti che, per una gamma con la parametrizzazione che ho usato io, viene[nota]lo puoi vedere dal link che ti ho messo[/nota]
$mathbb{E}[e^(xt)]=(lambda/(lambda-t))^alpha$
ma la fgm esiste solo per $t
quindi tutto ok perché a noi per calcolare media e varianza ci serve $t=1$ e $t=2$ e per ipotesi sappiamo che $lambda>2$
a questo punto è immediato vedere che
$mathbb{E}[e^x]=(lambda/(lambda-1))^alpha$ come ho trovato anche in modo analitico nel mio precedente post
Il momento secondo sarà
$mathbb{E}[e^(2x)]=(lambda/(lambda-2))^alpha$
e quindi la varianza è immediata essendo, per definizione, la differenza fra il momento secondo ed il momento primo al quadrato
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