Esercizio su Leggi marginali e legge del massimo
Salve, ho un problema con il seguente esercizio:
Data: $f_{x,y}(s,t) = 6e^(-2s-3t)$ con s,t>0 e V = X/Y
Ricavare la legge di V, ovvero $f_v$ (naturalmente X,Y,V sono tutte variabili aleatorie).
Sono partito come suggerisce il prof, dalla CDF(Funz. di Ripartizione) di V, ottenendo:
$F_v(t) = P(V <= t) = P(X/Y <= t) = P(X <= Yt) = F_x(Yt)$
non so però come proseguire, ho provato a passare dalle leggi marginali, ma non approdo a nulla, ed anche attraverso la legge del massimo sono ad un punto morto.
Spero possiate aiutarmi, grazie.
PS: So che non è una giustificazione, ho fatto il possibile per non contravvenire alle regole del forum, ma dato che è la mia prima iscrizione ad un qualsiasi forum e che questo è il mio primo post, siate comprensivi se ho commesso qualche errore. Nel qual caso mi scuso in anticipo, e sono aperto a critiche costruttive.
Data: $f_{x,y}(s,t) = 6e^(-2s-3t)$ con s,t>0 e V = X/Y
Ricavare la legge di V, ovvero $f_v$ (naturalmente X,Y,V sono tutte variabili aleatorie).
Sono partito come suggerisce il prof, dalla CDF(Funz. di Ripartizione) di V, ottenendo:
$F_v(t) = P(V <= t) = P(X/Y <= t) = P(X <= Yt) = F_x(Yt)$
non so però come proseguire, ho provato a passare dalle leggi marginali, ma non approdo a nulla, ed anche attraverso la legge del massimo sono ad un punto morto.
Spero possiate aiutarmi, grazie.
PS: So che non è una giustificazione, ho fatto il possibile per non contravvenire alle regole del forum, ma dato che è la mia prima iscrizione ad un qualsiasi forum e che questo è il mio primo post, siate comprensivi se ho commesso qualche errore. Nel qual caso mi scuso in anticipo, e sono aperto a critiche costruttive.
Risposte
Arrivato a $P(X<=Yt)$ (con t>0, perchè se t<=0 $F_v(t)=0$) devi integrare la densità doppia sul dominio determinato dall'evento.
Ovvero $int_0^{infty}int_0^{infty} 1_{x<=yt} f(x,y) dxdy = int_0^{infty}dy int_0^{yt} f(x,y) dx$ (ricontrolla gli estremi)
Inoltre l'ultimo passaggio quando scrivi $P(X <= Yt) = F_x(Yt)$ non è corretto perchè a sinistra hai una probabilità che è un numero tra 0 ed 1; a destra hai una v.a..
Nota inoltre che $f$ esprime la legge di un vettore doppio a componenti indipendenti dove le marginali sono esponenziali di parametro 2 e 3.
Ovvero $int_0^{infty}int_0^{infty} 1_{x<=yt} f(x,y) dxdy = int_0^{infty}dy int_0^{yt} f(x,y) dx$ (ricontrolla gli estremi)
Inoltre l'ultimo passaggio quando scrivi $P(X <= Yt) = F_x(Yt)$ non è corretto perchè a sinistra hai una probabilità che è un numero tra 0 ed 1; a destra hai una v.a..
Nota inoltre che $f$ esprime la legge di un vettore doppio a componenti indipendenti dove le marginali sono esponenziali di parametro 2 e 3.
"DajeForte":
$int_0^{infty}int_0^{infty} 1_{x<=yt} f(x,y) dxdy = int_0^{infty}dy int_0^{yt} f(x,y) dx$ (ricontrolla gli estremi)
Innanzitutto grazie per la risposta. Avrei voluto risponderti già ieri, ma non ho potuto, scusa.
Se posso rubarti ancora un attimo di tempo però, non ho capito come fai a passare da $P(X<=Yt)$ a $int_0^{infty}int_0^{infty} 1_{x<=yt} f(x,y) dxdy$, ovvero quale definizione o regola bisogna applicare. In particolare come fa ad uscirti $1_{x<=yt}$ e cosa significa (Scusa, ma nella mia insufficiente esperienza con gli integrali non li ho mai visti scritti così)?
Cerco di spiegarmi meglio: Io ho questa definizione : $f_{x,y}:= P((X,Y) in A) = (int int)_A f_{x,y} (s,t) dsdt$
Da ciò identifico A (che è l'insieme dei valori possibili) e quindi anche gli estremi di integrazione.
Per quanto riguarda yt l'hai messo come estremo superiore perchè quell'integrale è in dx con $x<=yt$ e quindi non arriva più a $infty$, ma a yt, vero?
Infine per gli estremi, potrebbe essere che l'itegrale interno vada da y a yt e non da 0 a yt :$int_0^{infty}dy int_y^{yt} f(x,y) dx$ ?
Grazie.
"supermik":
$f_{x,y}:= P((X,Y) in A) = (int int)_A f_{x,y} (s,t) dsdt=...$
$...=(int int)_{RR^2} 1_A f_{x,y} (s,t) dsdt$ appunto perchè al di fuori di A la funzione indicatrice si annulla.
In questo caso basta poi considerare che l'evento A è quello dato da $X<=Yt$ ovvero
$A={(x,y) in RR^2 \ \ | \ \ x<=yt}$.
Perfetto, ho capito tutto. Sei stato chiarissimo e grazie ancora per la disponibilità
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