Esercizio su funzioni di densità di variabili aleatorie
Ciao a tutti, sono da poco iscritto al forum, spero pertanto di porre il quesito nella giusta maniera.
Sia $X$ una variabile aleatoria che ammette funzione di densità $f_X$, data una funzione $g$ crescente e derivabile dimostrare che la variabile aleatoria $g(X)$ ammette una funzione di densità e scriverla in modo esplicito.
Per risolvere questo esercizio ho cercato di rifarmi al teorema di radon-nikodym (non sono sicuro di come si scriva), cioè che se ho una misura $mu_2$ assolutamente continua rispetto la misura $mu_1$ allora
$exists f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ tale che $\forall A \subset\mathbb R mu_2(A)=\int_A f(x) mu_1(dx)$.
Nel caso delle variabili aleatorie se la legge di $X$ è assolutamente continua rispetto la misura di Lebesgue esiste la funzione di densità e posso scrivere:
$F_X(x)=\int_{-\infty}^x f_X(t)dt$
In particolare voglio vedere se la legge di $g(X)$ e assolutamente continua rispetto la misura di Lebesgue:
$L_{g(X)}(A)=\mathbb P[(g(X))^{-1}(A)]=\mathbb P[X^{-1}(g^{-1}(A))]$
Ora sia A un insieme di misura (di Leb.) nulla, se la funzione g fosse strettamente crescente, dato che è derivabile è anche invertibile e quindi la retroimmagine di un insieme di misura nulla ha anchesso misura nulla, quindi siccome la legge di $X$ e asso. continua lo è anche quella di $g(X)$.
Cosa posso dire invece se la $g$ è non decrescente?
Se ad esempio la $g$ fosse costante in un tratto la retro immagine di un punto può essere un insieme a misura non nulla.
Sia $X$ una variabile aleatoria che ammette funzione di densità $f_X$, data una funzione $g$ crescente e derivabile dimostrare che la variabile aleatoria $g(X)$ ammette una funzione di densità e scriverla in modo esplicito.
Per risolvere questo esercizio ho cercato di rifarmi al teorema di radon-nikodym (non sono sicuro di come si scriva), cioè che se ho una misura $mu_2$ assolutamente continua rispetto la misura $mu_1$ allora
$exists f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ tale che $\forall A \subset\mathbb R mu_2(A)=\int_A f(x) mu_1(dx)$.
Nel caso delle variabili aleatorie se la legge di $X$ è assolutamente continua rispetto la misura di Lebesgue esiste la funzione di densità e posso scrivere:
$F_X(x)=\int_{-\infty}^x f_X(t)dt$
In particolare voglio vedere se la legge di $g(X)$ e assolutamente continua rispetto la misura di Lebesgue:
$L_{g(X)}(A)=\mathbb P[(g(X))^{-1}(A)]=\mathbb P[X^{-1}(g^{-1}(A))]$
Ora sia A un insieme di misura (di Leb.) nulla, se la funzione g fosse strettamente crescente, dato che è derivabile è anche invertibile e quindi la retroimmagine di un insieme di misura nulla ha anchesso misura nulla, quindi siccome la legge di $X$ e asso. continua lo è anche quella di $g(X)$.
Cosa posso dire invece se la $g$ è non decrescente?
Se ad esempio la $g$ fosse costante in un tratto la retro immagine di un punto può essere un insieme a misura non nulla.
Risposte
Io tenterei semplicemente di fare un esempio. Supponiamo che f(X) sia la funzione di densità di una gaussiana e che $g(X)=X+1$ che è una funzione crescente. Il risultato sarà solo di traslare il grafico della gaussiana di 1 verso dx per cui la nuova funzione di densità risulterà $f(X+1)$. Per la dimostrazione penso bastino i teoremi relativi alle variabili aleatorie e la definizione di funzione applicata a una V.A., che non cambia nei valori delle probabilità da cui dipende la F(X) e quindi la funzione di densità che si ottiene sempre come $F'(X)$.
Se però la mia risposta ti sembra troppo semplice, come non detto, evidentemente non ho ben capito l'argomento e il tuo quesito.
Se però la mia risposta ti sembra troppo semplice, come non detto, evidentemente non ho ben capito l'argomento e il tuo quesito.
Ho capito quello che dici, ed infatti il risultato è simile, a me torna che $f_{g(X)}(t)=f_X(g^{-1}(t))(g^{-1})^{\prime}(t)$
quindi nel tuo esempio la densità della va composta è $f_{g(X)}(t)=f(t-1)$ dove $t-1$ è l'inversa della funzione $g(t)=t+1$ cioè nella densità non devi comporre con la funzione stessa ma con la sua inversa.
La mia domanda è cosa si può fare quando la funzione non è invertibile? es $g(t)=1$
Otteniamo semplicemente un va che non ammette densità?
quindi nel tuo esempio la densità della va composta è $f_{g(X)}(t)=f(t-1)$ dove $t-1$ è l'inversa della funzione $g(t)=t+1$ cioè nella densità non devi comporre con la funzione stessa ma con la sua inversa.
La mia domanda è cosa si può fare quando la funzione non è invertibile? es $g(t)=1$
Otteniamo semplicemente un va che non ammette densità?
Se $g$ non è strettamente monotona si ottiene una v.a. non assolutamente continua. L'esempio più facile è quello che hai portato tu, in cui si passa da una v.a. assolutamente continua ad una v.a. costante quindi discreta.
Ciao.
Onestamente non capisco bene dove vuoi arrivare.
Quello che dici sulle funzioni invertibili è un teorema molto semplice:
Sia $X$ una v.a. assolutamente continua, $g$ una funzione invertibile, derivabile con derivata diversa da $0$
e sia $Y=g(X)$; allora
$f_Y(y)=f_X(g^(-1)(y))\ |(dg^(-1)(y))/(dy)|$.
Questo è molto semplice da vedere (considera $g$ crescente - vale l'analogo per il decrescente):
$F_Y(y)=P(Y
il passaggio chiave (secondo me) è il terzo perchè ti permette di esprimere la funzione di ripartizione di $Y$ in termini di quella di $X$.
Se perdi l'invertibiità della funzione, che significato assume $g^(-1)(y)$? Ovviamente non è ben definito matematicamente;
però puoi fare un ragionamento di natura logica, ovvero devi trovare quell'insieme $B$ tale che $g(B)
Quindi per rispondere alla tua domanda (l'ultima del tuo ultimo post), non puoi più usare quell teorema però puoi eseguire questo ragionamento logico;
ed ovviamente può esserci una densità (dipende da come è definita la funzione $g$).
Ti faccio un esempio:
considera $X\ sim\ "Unif"(0,2)$; e considera $g(x)=1-(x-1)^2$, lavorando nel dominio $(0,2)$ con immagine in $(0,1)$ (non invertibile perchè non iniettiva).
Se consideri $Y=g(X)$ questa è una variabile assolutamente continua condensità $1/2\ 1/(sqrt(1-y))$.
Se invece consideri
$g(x)=\{(1-(x-1)^2 \qquad \qquad 0
rispecchia sempre le caratteristiche e ovviamente non è invertibile, però non ha una densità per tutta la variabile,
o meglio è una mistura ovvero un po' continua (in $(0,1)$ e dove avrà una densità che però scaricherà soltanto $1/2$ della probabilità) un po' discreta (in $1$ dove scaricherà l'altro mezzo).
Onestamente non capisco bene dove vuoi arrivare.
Quello che dici sulle funzioni invertibili è un teorema molto semplice:
Sia $X$ una v.a. assolutamente continua, $g$ una funzione invertibile, derivabile con derivata diversa da $0$
e sia $Y=g(X)$; allora
$f_Y(y)=f_X(g^(-1)(y))\ |(dg^(-1)(y))/(dy)|$.
Questo è molto semplice da vedere (considera $g$ crescente - vale l'analogo per il decrescente):
$F_Y(y)=P(Y
il passaggio chiave (secondo me) è il terzo perchè ti permette di esprimere la funzione di ripartizione di $Y$ in termini di quella di $X$.
Se perdi l'invertibiità della funzione, che significato assume $g^(-1)(y)$? Ovviamente non è ben definito matematicamente;
però puoi fare un ragionamento di natura logica, ovvero devi trovare quell'insieme $B$ tale che $g(B)
Quindi per rispondere alla tua domanda (l'ultima del tuo ultimo post), non puoi più usare quell teorema però puoi eseguire questo ragionamento logico;
ed ovviamente può esserci una densità (dipende da come è definita la funzione $g$).
Ti faccio un esempio:
considera $X\ sim\ "Unif"(0,2)$; e considera $g(x)=1-(x-1)^2$, lavorando nel dominio $(0,2)$ con immagine in $(0,1)$ (non invertibile perchè non iniettiva).
Se consideri $Y=g(X)$ questa è una variabile assolutamente continua condensità $1/2\ 1/(sqrt(1-y))$.
Se invece consideri
$g(x)=\{(1-(x-1)^2 \qquad \qquad 0
rispecchia sempre le caratteristiche e ovviamente non è invertibile, però non ha una densità per tutta la variabile,
o meglio è una mistura ovvero un po' continua (in $(0,1)$ e dove avrà una densità che però scaricherà soltanto $1/2$ della probabilità) un po' discreta (in $1$ dove scaricherà l'altro mezzo).
Quindi in conclusione se ho una $g$ strett. crescente e derivabile ho una condizione sufficiente, ma non necessaria, per avere una densità.
Se mi manca qualche ipotesi posso comunque avere una densità per $g(X)$.
Grazie degli esempi chiarificatori.
Se mi manca qualche ipotesi posso comunque avere una densità per $g(X)$.
Grazie degli esempi chiarificatori.
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