Esercizio su estrazioni senza rimpiazzo

[Shocker1]

Salve,

sono alle prime armi con la probabilità, vi chiedo quindi di avere molta pazienza perché ho molte difficoltà.

Sono alle prese con il seguente esercizio:

Da un'urna contenente $n$ palline di cui $k$ rosse e $n-k$ bianche, con $1 <= k <= n-1$, si estrae una pallina, e quindi,
senza reimmetterla nell'urna, se ne estrae una seconda.
a)Definire uno spazio di probabilità $(\Omega, \mathcal(F), P)$ che possa modelizzare il fenomeno
Consideriamo i seguenti eventi: $A_1$ = "la prima palline è rossa", $A_2$ = "la seconda pallina è rossa".
b)mostrare che $A_1$ e $A_2$ non sono indipendenti

Partiamo con il punto $a$, devo scegliere lo spazio $\Omega$ e già ho un dubbio: posso scegliere $\Omega$ o come la famiglia dei sottoinsiemi di cardinalità $2$ o come famiglia delle coppie ordinate. Poiché gli eventi parlano di "prima" e "seconda" direi che l'ordine conta e quindi scelgo $\Omega = { (\omega_1, \omega_2) | \omega_1 != \omega_2 ^^ \omega_i \in U}$ dove $U$ è l'insieme delle $n$ palline. Come sigma algebra $\mathcal{F}$ scelgo l'insieme delle parti di $\Omega$, come probabilità scelgo quella equiprobabile, cioè $P(A) = \frac{1}{|\Omega|} \forall A \in \Omega$.

Prima di procedere con il punto $b$ vorrei sapere se la scelta di $\Omega$ come spazio dei campioni è corretta.

Grazie per la pazienza, ciao!

[Shocker1]

Up, nessuno può aiutarmi?

[Magma1]

Ciao,

"Shocker":come probabilità scelgo quella equiprobabile

$P(A) = \frac{1}{|\Omega|}, qquad \forall A \in \Omega$.

$EE A_2 in Omega | P(A_2)=1/(|Omega|-1)$

L'estrazione è senza reimmissione.

P.S. Lo spazio degli eventi lo sceglierei come

$Omega={1,...,k,n-k,...,n}$; per cui $p(omega)=1/(|Omega|-(k-1)), qquad AA omega in Omega$

[Lo_zio_Tom]

Vi sta chiedendo semplicemente la distribuzione di estrarre due palline da un'urna, senza reimmissione...ovvero una ipergeometrica (le palline dello stesso colore sono indistinguibili)
Se $1
$P(R R)=(k(k-1))/(n(n-1))$

$P(B R)=P(R B)=(k(n-k))/(n(n-1))$

$P(B B)=((n-k)(n-k-1))/(n(n-1))$

Che, come potete verificare, sommano a 1.
Se invece, come scritto nella traccia $1<=k<=n-1$ allora occorre dividere i tre casi perché quando $k=1$ oppure $k=n-1$ lo spazio campionario cambia. Ovviamente, dato che il fenomeno si può modellizzare con una pmf, il modello probabilistico può essere scritto in forma semplificata, senza dover definire la $sigma $-algebra

Ciao

[Magma1]

Ciao tommik,

"tommik": (le palline dello stesso colore sono indistinguibili)

Se $1

Perché hai scelto di modellizzare lo spazio degli eventi solo in base alle probabilità degli eventi richiesti?
A me viene sempre spontaneo considerare l'insieme delle $n$ palline, e quindi calcolare

$P(R)=k/n$

$P(R R)=k/n (k-1)/(n-1)$

$P(R R R)=k/n (k-1)/(n-1) (k-2)/(n-2)$

etcc...

[Lo_zio_Tom]

Ho fatto come dice la traccia: si estrae una pallina e, successivamente, senza reinserirla, se ne estrae un'altra. Totale 2 palline.