Esercizio su distribuzioni e valore atteso
Ciao a tutti, avrei bisogno di aiuto per il seguente esercizio...
Una scatola $ A $ contiene 5 palline: tre di esse hanno il numero 2, mentre le rimanenti due il numero 4. Una seconda scatola $ B $ contiene invece 2 palline bianche e 4 palline nere. Estraiamo una pallina da $ A $, che avrà il numero aleatorio X, e inseriamo in $ B $ esattamente X palline bianche. Facciamo quindi una estrazione da $ B $ di 2 palline senza reinserimento.
a. Detta Y la variabile che conta il numero di palline bianche tra le 2 estratte dalla scatola $ B $, se ne determini la distribuzione, e il valore atteso;
b. Sapendo che da $ B $ abbiamo estratto 2 palline bianche (e quindi Y = 2), qual'e la distribuzione di probabilità condizionata di X dato Y = 2?
c. X e Y sono indipendenti?
a. Allora abbiamo $ p= 2/5 $ di estrarre una pallina col numero 4 e quindi di inserire 4 palline bianche, mentre abbamo $ p=3/5 $ di inserirne solo due...
ora devo calcolare $ p(Y=0) $, $ p(Y=1) $ e $ p(Y=2) $ però non so bene come impostare i calcoli...
b. buio completo...
c. Direi che sono dipendenti, visto che il valore dell'una influenza l'altra...
Una scatola $ A $ contiene 5 palline: tre di esse hanno il numero 2, mentre le rimanenti due il numero 4. Una seconda scatola $ B $ contiene invece 2 palline bianche e 4 palline nere. Estraiamo una pallina da $ A $, che avrà il numero aleatorio X, e inseriamo in $ B $ esattamente X palline bianche. Facciamo quindi una estrazione da $ B $ di 2 palline senza reinserimento.
a. Detta Y la variabile che conta il numero di palline bianche tra le 2 estratte dalla scatola $ B $, se ne determini la distribuzione, e il valore atteso;
b. Sapendo che da $ B $ abbiamo estratto 2 palline bianche (e quindi Y = 2), qual'e la distribuzione di probabilità condizionata di X dato Y = 2?
c. X e Y sono indipendenti?
a. Allora abbiamo $ p= 2/5 $ di estrarre una pallina col numero 4 e quindi di inserire 4 palline bianche, mentre abbamo $ p=3/5 $ di inserirne solo due...
ora devo calcolare $ p(Y=0) $, $ p(Y=1) $ e $ p(Y=2) $ però non so bene come impostare i calcoli...
b. buio completo...
c. Direi che sono dipendenti, visto che il valore dell'una influenza l'altra...
Risposte
Ciao.
dunque, come hai detto te $P[X=4]=3/5$, $P[X=2]=2/5$
La prima domanda chiede di trovare $P[Y=y]$.
Utilizzando il Teorema della Probabilità Totale, condizionando rispetto alle palline estratte dalla scatola A (V.A. X), avremo:
$P[Y=y]= sum_{x in {4.2}} P[Y=y|X=x]*P[X=x] \text{ con y=0,1,2 }$ , inoltre $P[Y=y|X=x]=( ((2+x),(y))*((4),(2-y)) )/(((6+x),(2)))$.
Ora il calcolo te lo lascio. Per trovare il valore atteso si applica la solita formula.
Domanda b):
si chiede di trovare $P[X=x|Y=2]$.
Utilizzando il teorema di Bayes la relazione sopra citata si riscrive come:
$ P[X=x|Y=2]=( P[Y=2|X=x] * P[X=x])/(P[Y=2]) $
in questo caso hai già tutto...vedi la domanda precedente.
ciao ciao!!!
$$
dunque, come hai detto te $P[X=4]=3/5$, $P[X=2]=2/5$
La prima domanda chiede di trovare $P[Y=y]$.
Utilizzando il Teorema della Probabilità Totale, condizionando rispetto alle palline estratte dalla scatola A (V.A. X), avremo:
$P[Y=y]= sum_{x in {4.2}} P[Y=y|X=x]*P[X=x] \text{ con y=0,1,2 }$ , inoltre $P[Y=y|X=x]=( ((2+x),(y))*((4),(2-y)) )/(((6+x),(2)))$.
Ora il calcolo te lo lascio. Per trovare il valore atteso si applica la solita formula.
Domanda b):
si chiede di trovare $P[X=x|Y=2]$.
Utilizzando il teorema di Bayes la relazione sopra citata si riscrive come:
$ P[X=x|Y=2]=( P[Y=2|X=x] * P[X=x])/(P[Y=2]) $
in questo caso hai già tutto...vedi la domanda precedente.
ciao ciao!!!
$$
Ciao, grazie mille, sei stato molto chiaro! 
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