Esercizio su distribuzione binomiale
Salve a tutti,
Ho alcuni dubbi su questo esercizio: "Sapendo che il 11% delle persone che acquistano un biglietto aereo poi non si presenta all’imbarco, una compagnia aerea vende 15 biglietti per aerei da 13 posti e 28 biglietti per aerei da 25 posti.
-Calcolare la probabilità che qualche passeggero che ha comperato regolarmente il biglietto rimanga a terra per mancanza del posto con aerei con 13 posti
-Calcolare la probabilità che qualche passeggero che ha comperato regolarmente il biglietto rimanga a terra per mancanza del posto con aerei con 25 posti
-Calcolare il numero di biglietti che si potrebbe vendere per aerei con 13 posti accettando che la probabilità di lasciare a terra almeno un passeggero sia non superiore a 0.36."
Ho ipotizzato si tratti di una distribuzione binomiale siccome ho l'11% che NON si presentino all'imbarco e di conseguenza l'89% che si presentino. Per il primo punto ho sommato la probabilità che si presentano tutte e 15 le persone alla probabilità che si presentano tutte tranne 1. Per il secondo punto ho proceduto analogamente: tutti, tutti tranne 1, tutti tranne 2.
Per il terzo punto invece ho trovato un po' di problemi: ho impostato una disequazione che è di sicuro errata
$ 1 - ((n!) / (13! * (n-13)!))*0.89^13*0.11^(n-13) <= 0.36 $
La probabilità di lasciare a terra almeno un passeggero equivale alla probabilità 1 - Pr(nessun passeggero a terra), quindi ho utilizzato la formula della distribuzione binomiale con incognita il numero di biglietti venduti. Tuttavia non avendo il risultato non sono per niente certo del procedimento. Cosa ne pensate?
Grazie
Ho alcuni dubbi su questo esercizio: "Sapendo che il 11% delle persone che acquistano un biglietto aereo poi non si presenta all’imbarco, una compagnia aerea vende 15 biglietti per aerei da 13 posti e 28 biglietti per aerei da 25 posti.
-Calcolare la probabilità che qualche passeggero che ha comperato regolarmente il biglietto rimanga a terra per mancanza del posto con aerei con 13 posti
-Calcolare la probabilità che qualche passeggero che ha comperato regolarmente il biglietto rimanga a terra per mancanza del posto con aerei con 25 posti
-Calcolare il numero di biglietti che si potrebbe vendere per aerei con 13 posti accettando che la probabilità di lasciare a terra almeno un passeggero sia non superiore a 0.36."
Ho ipotizzato si tratti di una distribuzione binomiale siccome ho l'11% che NON si presentino all'imbarco e di conseguenza l'89% che si presentino. Per il primo punto ho sommato la probabilità che si presentano tutte e 15 le persone alla probabilità che si presentano tutte tranne 1. Per il secondo punto ho proceduto analogamente: tutti, tutti tranne 1, tutti tranne 2.
Per il terzo punto invece ho trovato un po' di problemi: ho impostato una disequazione che è di sicuro errata
$ 1 - ((n!) / (13! * (n-13)!))*0.89^13*0.11^(n-13) <= 0.36 $
La probabilità di lasciare a terra almeno un passeggero equivale alla probabilità 1 - Pr(nessun passeggero a terra), quindi ho utilizzato la formula della distribuzione binomiale con incognita il numero di biglietti venduti. Tuttavia non avendo il risultato non sono per niente certo del procedimento. Cosa ne pensate?
Grazie
Risposte
L'impostazione dei primi due è corretta e, se hai anche svolto esattamente i calcoli, la risposta alla terza domanda è automatica: $ 14 $.
Ciao
Ciao
Grazie della risposta, i calcoli li avevo già svolti ma volevo solamente sapere se la disequazione che ho impostato è corretta, quindi anche nel caso di probabilità diverse da 0.36.
"maluz":
volevo solamente sapere se la disequazione che ho impostato è corretta
A mio avviso (e anche secondo quanto scrivi tu) la disequazione non è corretta.
Tutti i passeggeri che si presentano riescono a trovare posto solo se il numero di coloro che hanno rinunciato è pari o superiore all'overbooking, si tratta di sommare le probabilità di più eventi incompatibili. Allo stesso modo anche la probabilità contraria (uno o più passeggeri rimangono a terra) è la somma di quelle di più eventi incompatibili.
Non credo si possa ridurre la complessità del calcolo, a meno di approssimazioni efficaci per grandi valori delle variabili, ma su questo tema ti può rispondere molto meglio Tommik, io passo.
Ciao
"maluz":
Per il terzo punto invece ho trovato un po' di problemi: ho impostato una disequazione che è di sicuro errata
$ 1 - ((n!) / (13! * (n-13)!))*0.89^13*0.11^(n-13) <= 0.36 $
Ti confermo che la disequazione che hai impostato è errata, ma oltretutto non ha alcun senso statistico. Hai mescolato funzione di probabilità con risultati relativi alla funzione di ripartizione. Oltretutto tale disuguaglianza non è verificata per alcun valore di $n$
Si può risolvere l'esercizio utilizzando la distribuzione binomiale ma solo per tentativi.
Ecco come fare. Scriviamo la distribuzione dei passeggeri che si presenteranno al check-in condizionata al numero dei biglietti venduti: $n=14,15,...$ (ovvero una binomiale)
e vediamo che, per $n=14$ la probabilità $P(X>13)~~0.2$ mentre se scegliamo $n=15$ $P(X>13)~~0.5$. Dato che a noi interessa $P(X>13)<=0.36$ la soluzione è ovviamente $n=14$
Tale metodo (oltre ad essere noioso) è del tutto inutile conoscendo il teorema del limite centrale.
L'esercizio infatti è un problema standard di Statistica ed è pensato proprio per essere risolto utilizzando tale teorema. Occorre, come ha giustamente osservato Orsoulx, che n sia sufficientemente grande.
Con questa distribuzione binomiale, $n>=6$ è già sufficientemente grande
Anche se non strettamente necessario utilizzo un opportuno fattore di correzione in quanto andiamo ad approssimare una distribuzione discreta (la binomiale) con un continua (Gaussiana)
Il problema consiste nel calcolare
$P(X>13)<=0.36$
Il teorema del limite centrale è il seguente:
$(Sigmax-nmu)/(sigma sqrt(n))~N(0;1)$
Ovvero
$P{Z>(13.5-0.89n)/sqrt(0.89\cdot0.11\cdotn)}<=0.36$
da cui, utilizzando le tavole:
$(13.5-0.89n)/sqrt(0.89\cdot0.11\cdotn)>0.358$
e quindi $n=floor(14.7)=14$
prova ad applicare lo stesso metodo con valori diversi di probabilità...oppure guarda in questa stanza perché di esercizi sull'applicazione del Limite Centrale ce ne sono davvero tanti
Purtroppo il teorema del limite centrale non l'ho ancora studiato, quindi non saprei come procedere. Ad ogni modo vi ringrazio di tutto.
Forse non hai letto bene la mia risposta..ti ho messo entrambe le soluzioni, sia quella con la binomiale che quella con l'approssimazione del TLC
$n $ è il massimo valore tale per cui
$sum_(k=14)^(n)((n),(k))0,89^k 0,11^(n-k)<=0,36$
$n=14,15,.... $
Intendevo dire che risolverlo con la binomiale può diventare arduo e comunque è inutile. Al di là del singolo esercizio (che come ti ho mostrato anche nella risposta precedente si risolve facilmente anche con la binomiale), è importante che impari a gestire nel modo più efficace gli strumenti che la Statistica ti offre.
Ad esempio: lanciamo 10 volte un dado. Calcolare la probabilità che la somma dei numeri che si presentano sia $>40$. Se tenti di farlo con la distribuzione discreta diventi vecchio prima di trovare una soluzione mentre col TLC lo risolvi in un passaggio.
saluti
$n $ è il massimo valore tale per cui
$sum_(k=14)^(n)((n),(k))0,89^k 0,11^(n-k)<=0,36$
$n=14,15,.... $
Intendevo dire che risolverlo con la binomiale può diventare arduo e comunque è inutile. Al di là del singolo esercizio (che come ti ho mostrato anche nella risposta precedente si risolve facilmente anche con la binomiale), è importante che impari a gestire nel modo più efficace gli strumenti che la Statistica ti offre.
Ad esempio: lanciamo 10 volte un dado. Calcolare la probabilità che la somma dei numeri che si presentano sia $>40$. Se tenti di farlo con la distribuzione discreta diventi vecchio prima di trovare una soluzione mentre col TLC lo risolvi in un passaggio.
saluti
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