Esercizio su densità gaussiana e gamma
Prometto che questo è il secondo e l'ultimo esercizio che posterò 
Stavolta non so minimamente dove metter mano, riporto il testo in cerca di un disperato aiuto
Nel taglio di un materiale in pezzi di una certa lunghezza, un macchi-
nario commette un errore $ X~N(0;4) $ (la lunghezza è misurata in cm).
Per ogni pezzo tagliato, se si commette un errore di ampiezza x, il
taglio comporta un costo aggiuntivo distribuito secondo una $ Γ(x^4; x^2) $.
Se indichiamo con $ Y $ il costo aggiuntivo relativo al taglio di un pezzo
del materiale
Mi viene chiesto di trovare $ fy(y) $, $ E(Y) $ e $ Var(Y) $
Ho provato a ragionare sul fatto che una $ X~N(0, σ^2) $ sia uguale a una $ Γ(1/2,1/(2σ^2)) $, ma comunque non riesco ad andare avanti e ad impostare l'esercizio.. Qualcuno potrebbe darmi un aiutino?
Grazie ancora in anticipo
Stavolta non so minimamente dove metter mano, riporto il testo in cerca di un disperato aiuto
Nel taglio di un materiale in pezzi di una certa lunghezza, un macchi-
nario commette un errore $ X~N(0;4) $ (la lunghezza è misurata in cm).
Per ogni pezzo tagliato, se si commette un errore di ampiezza x, il
taglio comporta un costo aggiuntivo distribuito secondo una $ Γ(x^4; x^2) $.
Se indichiamo con $ Y $ il costo aggiuntivo relativo al taglio di un pezzo
del materiale
Mi viene chiesto di trovare $ fy(y) $, $ E(Y) $ e $ Var(Y) $
Ho provato a ragionare sul fatto che una $ X~N(0, σ^2) $ sia uguale a una $ Γ(1/2,1/(2σ^2)) $, ma comunque non riesco ad andare avanti e ad impostare l'esercizio.. Qualcuno potrebbe darmi un aiutino?
Grazie ancora in anticipo
Risposte
"Cianf":
Qualcuno potrebbe darmi un aiutino?
Grazie ancora in anticipo
dovresti sapere che
$mathbb{E}[Y]=mathbb{E}[mathbb{E}[Y|X=x]]=mathbb{E}[X^2]=4$
...ti avevo anche detto di specificare l'espressione della densità della Gamma ma evidentemente sono state parole al vento.
Per la varianza puoi ragionare in maniera simile
Per trovare la densità di Y l'esercizio è più carino....[strike]non ho fatto i conti ma non dovrebbe essere difficile.[/strike]
Hai la $f(x)$ e la $f(y|x)$...le moltiplichi e trovi la distribuzione congiunta...integri su tutto X e trovi la $f(y)$
EDIT: ho provato a fare due conti ma mi pare piuttosto complicato quell'integrale da risolvere in $dx$. Ora non ho tempo di pensarci con attenzione, aspettiamo altri suggerimenti.
ciao...anzi addio visto che questo è il tuo ultimo messaggio
"Cianf":
Prometto che questo è il secondo e l'ultimo esercizio che posterò
"tommik":
...ti avevo anche detto di specificare l'espressione della densità della Gamma ma evidentemente sono state parole al vento.
Hai ragione scusami, ho creato quest'altro topic ma non avevo ancora letto l'altra tua risposta, perdonami
In realtà mi risulta anche difficile capire come esplicitarla questa gamma
Comunque grazie mille per l'aiuto, provo a rifarlo
rispondo ancora perché il calcolo della variamza di Y, seppure sulla stessa falsariga della media, presenta qualche difficoltà ulteriore....
Partiamo dal calcolo di
$mathbb{E}[Y^2]=mathbb{E}[mathbb{E}[Y^2|X]]=mathbb{E}[1+x^4]=1+mathbb{E}[X^4]$
ora per calcolare il momento quarto di X conviene trasformare la variabile in una gaussiana standard così:
$Z=X/2$ da cui $mathbb{E}[X^4]=16mathbb{E}[Z^4]=16*(4!)/(2^2*2)=48$
Ciò in quanto sono noti i momenti della gaussiana standard
In definitiva
$mathbb{E}[Y^2]=1+48$
e quindi $V[Y^2]=49+4^2=65$
Partiamo dal calcolo di
$mathbb{E}[Y^2]=mathbb{E}[mathbb{E}[Y^2|X]]=mathbb{E}[1+x^4]=1+mathbb{E}[X^4]$
ora per calcolare il momento quarto di X conviene trasformare la variabile in una gaussiana standard così:
$Z=X/2$ da cui $mathbb{E}[X^4]=16mathbb{E}[Z^4]=16*(4!)/(2^2*2)=48$
Ciò in quanto sono noti i momenti della gaussiana standard
In definitiva
$mathbb{E}[Y^2]=1+48$
e quindi $V[Y^2]=49+4^2=65$
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