Esercizio su densità di probabilità
Salve! Ho provato a risolvere questo esercizio, mentre riesco a risolvere il punto (a), non so come affrontare gli altri punti!
Di seguito il problema:
$ f(x,y) = { ( c * e^-x ...0 leq x leq 1 ...0 leq y leq 1 ),( 0 ... al):} $
scusate ma non sono molto abile nel scrivere equazioni con mathml
(ho usato i puntini per distanziare i vari elementi, sennò restava tutto compresso!)
Ora i vari punti dell'esercizio:
a) Determinare per quale valore della costante c, la funzione definisce una densità di probabilità del vettore z=(x,y)
(questo mi risulta $ c = e / (e-1) $ )
b) Si determinino le distribuzioni marginali x e y (qui in teoria bisogna fare degli integrali "incrociati" giusto? tipo f(x) facendo l'integrale con dy, e f(y) facendo l'integrale con dx?)
c) Le variabili sono indipendenti? (qui bisogna vedere se il prodotto delle distribuzioni marginali è uguale alla funzione di ripartizione giusto?)
d) Sia M il minimo tra x e y: determinare la distribuzione di M (qui sono in alto mare... =P )
Vi chiedo aiuto perché fra pochi giorni avrò la prova intermedia su questi argomenti! Non mi importa tanto il punto d quanto i precedenti...Qualsiasi aiuto è ben accetto
Grazie!
Di seguito il problema:
$ f(x,y) = { ( c * e^-x ...0 leq x leq 1 ...0 leq y leq 1 ),( 0 ... al):} $
scusate ma non sono molto abile nel scrivere equazioni con mathml
(ho usato i puntini per distanziare i vari elementi, sennò restava tutto compresso!)
Ora i vari punti dell'esercizio:
a) Determinare per quale valore della costante c, la funzione definisce una densità di probabilità del vettore z=(x,y)
(questo mi risulta $ c = e / (e-1) $ )
b) Si determinino le distribuzioni marginali x e y (qui in teoria bisogna fare degli integrali "incrociati" giusto? tipo f(x) facendo l'integrale con dy, e f(y) facendo l'integrale con dx?)
c) Le variabili sono indipendenti? (qui bisogna vedere se il prodotto delle distribuzioni marginali è uguale alla funzione di ripartizione giusto?)
d) Sia M il minimo tra x e y: determinare la distribuzione di M (qui sono in alto mare... =P )
Vi chiedo aiuto perché fra pochi giorni avrò la prova intermedia su questi argomenti! Non mi importa tanto il punto d quanto i precedenti...Qualsiasi aiuto è ben accetto
Grazie!
Risposte
"Black27":
a) Determinare per quale valore della costante c, la funzione definisce una densità di probabilità del vettore z=(x,y)
(questo mi risulta $ c = e / (e-1) $ )
Anche a me
b) Si determinino le distribuzioni marginali x e y (qui in teoria bisogna fare degli integrali "incrociati" giusto? tipo f(x) facendo l'integrale con dy, e f(y) facendo l'integrale con dx?)
A me viene così:
$f_X(x)=\int_{-oo}^{+oo}f(x,y)dy=...=ce^{-x}$ per $0\leq x\leq 1$ e $0$ altrimenti;
$f_Y(y)=\int_{-oo}^{+oo}f(x,y)dx=...=1$ per $0\leq y\leq 1$ e $0$ altrimenti.
c) Le variabili sono indipendenti? (qui bisogna vedere se il prodotto delle distribuzioni marginali è uguale alla funzione di ripartizione giusto?)
Sì, e a me risultano indipendenti.
d) Sia M il minimo tra x e y: determinare la distribuzione di M (qui sono in alto mare... =P )
Questo punto mi ha dato un po' da pensare e non so se ho trovato la soluzione giusta, comunque avrei calcolato la funzione di ripartizione di $M$ in questo modo:
$F_M(t)=\mathbb{P}(min(X,Y)\leq t)=\mathbb{P}(\{X\leq t\}\cup\{Y\leq t\})=\mathbb{P}\{X\leq t\}+\mathbb{P}\{Y\leq t\}-\mathbb{P}\{X\leq t\}*\mathbb{P}\{Y\leq t\}=...$
dove nell'ultimo passaggio ho usato la proprietà di modularità della probabilità e l'indipendenza di $X$ e $Y$. Il risultato mi viene una funzione un po' lunga e magari posto la soluzione solo se il procedimento è giusto...
Grazie mille della risposta esauriente
Una cosa non mi è chiara:
Per calcolare la seguente distribuzione marginale
fra che intervalli hai integrato? Io avrei fatto fra 0 e 1 Cioè mi sarebbe risultato:
$ -c*e^-1 + c*e^0 =-c*e^-1 +c $
e quindi mi sarebbe risultato che non sono indipendenti!
Per l'ultimo punto, se devo essere sincero non ho capito molto come funziona... penso che ormai sia troppo tardi per capirlo 
Una cosa non mi è chiara:
Per calcolare la seguente distribuzione marginale
"retrocomputer":
$f_Y(y)=\int_{-oo}^{+oo}f(x,y)dx=...=1$ per $0\leq y\leq 1$ e $0$ altrimenti.
fra che intervalli hai integrato? Io avrei fatto fra 0 e 1
Cioè mi sarebbe risultato:$ -c*e^-1 + c*e^0 =-c*e^-1 +c $
e quindi mi sarebbe risultato che non sono indipendenti!
Per l'ultimo punto, se devo essere sincero non ho capito molto come funziona...
penso che ormai sia troppo tardi per capirlo
"Black27":
fra che intervalli hai integrato? Io avrei fatto fra 0 e 1
$ -c*e^-1 + c*e^0 =-c*e^-1 +c $
La definizione dice di integrare tra $-oo$ e $+oo$, ma poi, in questo caso, si integra tra $0$ e $1$, essendo la funzione nulla altrove. Se sostituisci il valore di $c$ nell'espressione trovata, non viene $1$?
Per l'ultimo punto, se devo essere sincero non ho capito molto come funziona...
Su questo aspetterei conferme autorevoli prima di proseguire
"retrocomputer":
Questo punto mi ha dato un po' da pensare e non so se ho trovato la soluzione giusta, comunque avrei calcolato la funzione di ripartizione di $M$ in questo modo:
$F_M(t)=\mathbb{P}(min(X,Y)\leq t)=\mathbb{P}(\{X\leq t\}\cup\{Y\leq t\})=\mathbb{P}\{X\leq t\}+\mathbb{P}\{Y\leq t\}-\mathbb{P}\{X\leq t\}*\mathbb{P}\{Y\leq t\}=...$
Si è giusto ma conviene fare:
$\mathbb{P}(min(X,Y)\leq t)=1-\mathbb{P}(min(X,Y)> t)=1-\mathbb{P}(X>t)\mathbb{P}(Y>t)$
"DajeForte":
Si è giusto ma conviene fare:
$\mathbb{P}(min(X,Y)\leq t)=1-\mathbb{P}(min(X,Y)> t)=1-\mathbb{P}(X>t)\mathbb{P}(Y>t)$
E' vero, grazie!
Il risultato mi viene lo stesso in entrambi i modi, quindi ho ragione di credere che sia giusto
Quindi basta fare gli integrali fra x e infinito, e fra y e infinito, moltiplicarli fra loro e sottrarli da 1?
"Black27":
Quindi basta fare gli integrali fra x e infinito, e fra y e infinito, moltiplicarli fra loro e sottrarli da 1?
Bisogna fare $\int_t^{+oo}f_X(x)dx$ e $\int_t^{+oo}f_Y(y)dy$, moltiplicarli fra loro e sottrarli da $1$, che poi anche qui si tratta di integrali tra $t$ e $1$ con $0\leq t\leq 1$
quindi verrebbe una cosa come
$1 - (1-t) * e^(1-t) $
ho fatto giusto i calcoli? Praticamente ho fatto l'integrale fra t e 1 delle due marginali.
$1 - (1-t) * e^(1-t) $
ho fatto giusto i calcoli? Praticamente ho fatto l'integrale fra t e 1 delle due marginali.
"Black27":
quindi verrebbe una cosa come
$1 - (1-t) * e^(1-t) $
ho fatto giusto i calcoli? Praticamente ho fatto l'integrale fra t e 1 delle due marginali.
In pratica ti viene il primo integrale uguale a $e^(1-t)$... A me viene diverso... Ma sicuramente avrò sbagliato io
Non sono così abile a fare integrali come pensi XD mi sa che ho sbagliato io...Comunque sia, l'importante è che la formula sia corretta! =) grazie mille dell'aiuto, davvero!
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